|
Задача №93. (МИИТ, 1976 г.) Существует ли функция, значение которой конечно в каждой точке отрезка [0, 1], но не ограниченная в любой окрестности любой точки этого отрезка? Взято отсюда: http://booksshare.net/index.php?id1=4&category=math&author=sadovnichiy-va&book=1978&page=4 У меня идея такая. Пусть наша функция будет равна числу цифр в десятичной записи аргумента, если оно конечно, и 1 в противном случае. Например, $$f(\dfrac{1}{3})=1,\quad f(\dfrac{1}{8})=4,\quad f(0,123456789)=10$$ Как вы думаете, такая идея прокатит? Или я чего-то не учла? задан 26 Ноя '14 15:58 
حنين |
Здравствуйте
Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.
Присоединяйтесь!
отмечен:
задан
26 Ноя '14 15:58
показан
936 раз
обновлен
27 Ноя '14 18:21
Связанные вопросы
Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Думаю, да. В каждой точке функция определена, причем однозначно. В каждой окрестности каждой точки найдется бесконечное число рациональных чисел, записываемых в виде конечной десятичной дроби. Раз таких дробей бесконечное число, то в каждой окрестности функция неограниченна.
Да, такая идея проходит, и вообще функций с этим свойством очень много. Можно брать знаменатели дробей в их несократимой записи, а иррациональные числа отображать произвольно. Я когда-то встречал задачу более сложную: там надо было придумать функцию, которая на любом отрезке принимает все действительные значения.
@falcao, Ваша задача несложная, я когда-то её на dxdy постила. Если найду, солью сюда.
@Katy Laurin: в принципе, она достаточно известная. Мне о ней когда-то давно рассказывал товарищ по олимпиадам.
@falcao, спасибо большое!