Задача №93. (МИИТ, 1976 г.) Существует ли функция, значение которой конечно в каждой точке отрезка [0, 1], но не ограниченная в любой окрестности любой точки этого отрезка? Взято отсюда: http://booksshare.net/index.php?id1=4&category=math&author=sadovnichiy-va&book=1978&page=4

У меня идея такая. Пусть наша функция будет равна числу цифр в десятичной записи аргумента, если оно конечно, и 1 в противном случае. Например, $$f(\dfrac{1}{3})=1,\quad f(\dfrac{1}{8})=4,\quad f(0,123456789)=10$$

Как вы думаете, такая идея прокатит? Или я чего-то не учла?

задан 26 Ноя '14 15:58

Думаю, да. В каждой точке функция определена, причем однозначно. В каждой окрестности каждой точки найдется бесконечное число рациональных чисел, записываемых в виде конечной десятичной дроби. Раз таких дробей бесконечное число, то в каждой окрестности функция неограниченна.

(26 Ноя '14 16:06) cartesius

Да, такая идея проходит, и вообще функций с этим свойством очень много. Можно брать знаменатели дробей в их несократимой записи, а иррациональные числа отображать произвольно. Я когда-то встречал задачу более сложную: там надо было придумать функцию, которая на любом отрезке принимает все действительные значения.

(26 Ноя '14 16:49) falcao

@falcao, Ваша задача несложная, я когда-то её на dxdy постила. Если найду, солью сюда.

(26 Ноя '14 18:24) حنين

@Katy Laurin: в принципе, она достаточно известная. Мне о ней когда-то давно рассказывал товарищ по олимпиадам.

(26 Ноя '14 21:12) falcao

@falcao, спасибо большое!

(27 Ноя '14 18:21) حنين
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,403
×1,131
×370
×211
×42

задан
26 Ноя '14 15:58

показан
936 раз

обновлен
27 Ноя '14 18:21

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru