|
В выпуклом пятиугольнике $%ABCDE$% $$BC║AD, CD║BE, DE║AC, AE║BD.$$ Доказать, что $%AB║CE$%. задан 27 Ноя '14 23:13 
EdwardTurJ |
|
$%S(\triangle ABC)=S(\triangle BCD)=S(\triangle CDE)=S(\triangle DEA)=S(\triangle EAB)\Rightarrow$% $%\Rightarrow S(\triangle ABC)=S(\triangle EAB)\Rightarrow AB║CE$%. отвечен 28 Ноя '14 0:42
EdwardTurJ @EdwardTurJ: поясните, пожалуйста, как доказывается равенство этих площадей?
(5 Дек '14 14:22)
stander
|
|
Будем обозначать вектор вида $%\vec{AX}$% буквой $%x$%. Тогда, рассматривая векторное произведение (можно также брать косое произведение), мы из первого, третьего и четвёртого условия имеем $%b\times d=c\times d$%, $%c\times d=c\times e$%, $%b\times e=d\times e$%. Третье условие даёт $%(d-c)\times(e-b)=0$%, откуда с учётом антикоммутативности $%d\times e-c\times e+b\times d-b\times c=0$%, и два слагаемых в середине сократятся как следствие первых двух равенств из предыдущего абзаца. Тем самым, $%b\times c=d\times e=b\times e$%, откуда следует параллельность $%AB$% и $%CE$%. Можно также было рассмотреть несколько параллелограммов и точек пересечения их диагоналей, но алгебраически всё сразу получается. отвечен 28 Ноя '14 0:12 
falcao |