В выпуклом пятиугольнике $%ABCDE$% $$BC║AD, CD║BE, DE║AC, AE║BD.$$ Доказать, что $%AB║CE$%.

задан 27 Ноя '14 23:13

10|600 символов нужно символов осталось
0

$%S(\triangle ABC)=S(\triangle BCD)=S(\triangle CDE)=S(\triangle DEA)=S(\triangle EAB)\Rightarrow$%

$%\Rightarrow S(\triangle ABC)=S(\triangle EAB)\Rightarrow AB║CE$%.

ссылка

отвечен 28 Ноя '14 0:42

изменен 28 Ноя '14 0:42

@EdwardTurJ: поясните, пожалуйста, как доказывается равенство этих площадей?

(5 Дек '14 14:22) stander

@stander: основания одинаковые (например, BC в первом из равенств), и высоты тоже одинаковые за счёт параллельности прямых.

(5 Дек '14 15:08) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

Будем обозначать вектор вида $%\vec{AX}$% буквой $%x$%. Тогда, рассматривая векторное произведение (можно также брать косое произведение), мы из первого, третьего и четвёртого условия имеем $%b\times d=c\times d$%, $%c\times d=c\times e$%, $%b\times e=d\times e$%.

Третье условие даёт $%(d-c)\times(e-b)=0$%, откуда с учётом антикоммутативности $%d\times e-c\times e+b\times d-b\times c=0$%, и два слагаемых в середине сократятся как следствие первых двух равенств из предыдущего абзаца. Тем самым, $%b\times c=d\times e=b\times e$%, откуда следует параллельность $%AB$% и $%CE$%.

Можно также было рассмотреть несколько параллелограммов и точек пересечения их диагоналей, но алгебраически всё сразу получается.

ссылка

отвечен 28 Ноя '14 0:12

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×663
×49

задан
27 Ноя '14 23:13

показан
6175 раз

обновлен
5 Дек '14 15:08

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru