При каких значениях $%a$% минимальна сумма всех вещественных корней уравнения $$\frac{f(a)x^2+1}{x^2+g(a)}=\sqrt{\frac{xg(a)-1}{f(a)-x}}, \\ f(a)=a^2-\sqrt{21}a+26, \\ g(a)=\frac{3}{2} a^2 - \sqrt{21}a+27$$

задан 30 Ноя '14 11:17

изменен 1 Дек '14 20:36

1

$%g(a)$% -одна дробь или только дробь первый член? Если только первый член дробь, то какая - $%3/(2a^2)$% или $%(3/2)a^2$%?

(30 Ноя '14 14:31) epimkin

@epimkin: поправил.

(30 Ноя '14 14:32) student

Хотя решать всё равно не знаю как.

(30 Ноя '14 14:32) epimkin

@falcao, помогите! :)

(2 Дек '14 16:24) student
10|600 символов нужно символов осталось
1

После возведения в квадрат и приведения подобных членов получим: $$(p^2+q)x^5-(p^3+1)x^4+2(p+q^3)-2(p^2+q)x^2+(q^3+1)x-(p+q^2)=0,$$ где $%p=f(a),q=g(a)$%. Далее разлагаем на множители: $$((p^2+q)x^2+(pq-1)x+p+q^2)(x^3-px^2+qx-1))=0.$$ (WolframAlpha не факторизовал, искал разложение на множители, предполагая, что старший и младший коэффициенты $%(p^2+q)$% и $%\pm(p+q^2)$% только у одного сомножителя).

У квадратного многочлена дискриминант отрицательный. У кубического уравнения (обозначим его через $%R(x)$%) либо один либо три корня. По всей видимости, нужно доказать, что у него три действительных корня, принадлежащих ОДЗ начального уравнения.

Заметим, что $%p\ge20\frac{3}{4}$% и $%q\ge23\frac{1}{2}$%. ОДЗ исходного уравнения: либо $%p< x\le1/q$% либо $%1/q\le x< p$%. Поскольку $%pq>1$%, то первый случай невозможен. Итак, ОДЗ: $%1/q\le x< p$%.

$%R(1/q)=1/q^3-p/q^2+q/q-1=(1-pq)/q^3<0,R(p)=p^3-pp^2+qp-1=pq-1>0.$% Один корень на ОДЗ уже есть. $%R(1)=1-p+q-1=q-p=a^2/2+1>0$%. Надо угадать ещё одну точку на $%(1,p)$%, где $%R()<0$%. Такой точкой может быть $%x=2$%, поскольку $%R(2)=8-4(a^2-\sqrt{21}a+26)+2(3/2a^2-\sqrt{21}a+27)-1=-a^2+2\sqrt{21}a-43<0$% (дискриминант отрицательный).

Тогда у многочлена $%R(x)$% три действительных корня и их сумма равна $%p=a^2-\sqrt{21}a+26\ge20\frac{3}{4}$% и минимум достигается при $%a=\sqrt{21}/2$%.

ссылка

отвечен 2 Дек '14 17:15

изменен 3 Дек '14 23:54

2

Задача из олимпиады для школьников, поэтому там в принципе ничего сложнее исследования квадратного трехчлена быть не может... Даже производную вроде нельзя использовать.

(2 Дек '14 17:41) student
1

Без исследования кубического уравнения здесь не обойтись. Использовать производную нет необходимости, но нужно использовать такой факт:

Если на концах отрезка многочлен принимает значения разных знаков, то на этом отрезке у многочлена есть корень.

(2 Дек '14 19:45) EdwardTurJ
1

А как найти разложение на множители?

(3 Дек '14 23:08) student
1
  1. Предполагаем, что многочлен является произведением двух многочленов второй и третьей степени.
  2. Предполагаем, что старшие коэффициенты многочленов - это $%(p^2+q)$% и $%1$%.
  3. Предполагаем, что младшие коэффициенты многочленов - это $%±(p+q^2)$% и $%±1$%.
  4. Остальные три (2+1) коэффициента - неизвестные.
  5. Всего 4 варианта. Каждый решаем методом неопределённых коэффициентов.
(3 Дек '14 23:23) EdwardTurJ
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×489
×461
×234

задан
30 Ноя '14 11:17

показан
727 раз

обновлен
3 Дек '14 23:55

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru