геометрия - Нахождения углов треугольника

$%45, 30 и 105$% градусов. Возможно несколько решений. 1) Через векторы. 2) По теореме синусов. 3) Достроить треугольник до параллелограмма.

Приведу решение через векторы. Поместим вершину, из которой исходит медиана, в начало координат, одну из двух оставшихся вершин $%A $%- на ось абсцисс, третью вершину $%B$% - в первую четверть координатной плоскости.
Очевидно, что условие задачи задает семейство подобных треугольников, поэтому можно зафиксировать одну сторону. Пусть, например, $%|OA|=1$%, т.е. $%A(1,0)$%.
Далее, пусть $%C$% - середина $%AB$%. Вектор $%OB$% составляет с осью абсцисс угол 45 градусов, поэтому его координаты можно записать как $%(b,b)$%, вектор $%OC$% - полусумма векторов $%OA$% и $%OB$%, поэтому он имеет координаты $%((b+1)/2,b/2)$%. С другой стороны вектор $%OC$% составляет угол 30 градусов с положительным направлением оси абсцисс, поэтому его координаты можно записать как $%(a \sqrt{3}/2, a/2)$%. Приравняв эти 2 выражения, получаем $%a=b=1/(\sqrt 3-1) $%. Вектор $%AB$% имеет координаты $%(b-1,b)$%, котангенс его угла наклона к оси абсцисс равен $%1-1/b$%, т.е. $%2-\sqrt 3 $%, следовательно угол $%BAx$% равен $%arcctg(2-\sqrt 3)=75 $% градусов, следовательно, смежный с ним - тупой угол треугольника равен 105 градусов, а оставшийся угол $%OBA$% = 30 градусов.

Решим задачу в общем виде. Пусть задана окружность радиуса R с центром в точке O. Проведём два её ортогональных диаметра: горизонтальный OC и вертикальный AOD. В четвёртой четверти окружности соединим концы диаметров в точках A (нижняя точка) и C хордой AC. Выберем любую точку B дуги первой четверти окружности и соединим её с концами полученной хорды AC. Получим треугольник ABC (см. обозначения на рисунке @Anatoliy), у которого известна величина угла B: 45 градусов. Выберем на хорде AC точку E (на рисунке - С1), которая делит длину хорды пополам, соединим её с вершиной B треугольника. BE – медиана. При перемещении точки B по дуге DC окружности медиана вращается вокруг точки E. Одновременно вокруг точки A вращается и сторона AB треугольника ABC. Пусть текущий угол между хордой AB и вертикальным диаметром AD окружности будет . Расположим начало прямоугольных декартовых координат в точке A таким образом, чтобы ось Y совпадала с вертикальным диаметром AD окружности. Тогда точка B имеет текущие координаты (2Rsincos; 2R(cos)^2), точка E имеет координаты (R/2, R/2). Уравнение медианы: $$(x/R – sin2)/(1/2 – sin2) = (y/2R – (cos)^2)/(1/4 – (cos)^2)$$ В единственном случае, когда медиана параллельна оси Y-ков, угол  определяется без проблем. Из уравнения медианы в этом случае следует, что знаменатель коэффициента при неизвестной x должен быть равен нулю. Имеем: (1/2 – sin2) = 0;  = 15 градусов Итак, угол BAD равен 15 градусов, угол BAC равен 30 градусов, угол BCA равен 105 градусов. Как следует из этого решения, в условии задачи деление медианой угла в 45 градусов на его составляющие в 15 и 30 градусов является избыточной информацией.

Пока придумалось только одно: догадаться и проверить с помощью теормы синусов (для двух частей треугольника). Можно и не догадываться, а вывести из теоремы синусов, но тогда не будет коротко...