Медиана треугольника делит угол на части $%30^о$% и $%15^о$%.Как найти углы треугольника? задан 3 Май '12 12:50 ASailyan |
отвечен 3 Май '12 20:21 Anatoliy Возможно, нужно рассмотреть свойства прямоугольного треугольника с углом 60 градусов. Но там, я думаю, не меньше трудностей.
(3 Май '12 20:30)
Anatoliy
Хорошо. Но была бы немножко короче если бы использовали формулу $% cos15^0=cos(45^0-30^0)=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$%
(3 Май '12 21:15)
ASailyan
|
$%45, 30 и 105$% градусов. Возможно несколько решений. 1) Через векторы. 2) По теореме синусов. 3) Достроить треугольник до параллелограмма. Приведу решение через векторы. Поместим вершину, из которой исходит медиана, в начало координат, одну из двух оставшихся вершин $%A $%- на ось абсцисс, третью вершину $%B$% - в первую четверть координатной плоскости. отвечен 3 Май '12 17:21 Андрей Юрьевич |
Решим задачу в общем виде. Пусть задана окружность радиуса R с центром в точке O. Проведём два её ортогональных диаметра: горизонтальный OC и вертикальный AOD. В четвёртой четверти окружности соединим концы диаметров в точках A (нижняя точка) и C хордой AC. Выберем любую точку B дуги первой четверти окружности и соединим её с концами полученной хорды AC. Получим треугольник ABC (см. обозначения на рисунке @Anatoliy), у которого известна величина угла B: 45 градусов. Выберем на хорде AC точку E (на рисунке - С1), которая делит длину хорды пополам, соединим её с вершиной B треугольника. BE – медиана. При перемещении точки B по дуге DC окружности медиана вращается вокруг точки E. Одновременно вокруг точки A вращается и сторона AB треугольника ABC. Пусть текущий угол между хордой AB и вертикальным диаметром AD окружности будет . Расположим начало прямоугольных декартовых координат в точке A таким образом, чтобы ось Y совпадала с вертикальным диаметром AD окружности. Тогда точка B имеет текущие координаты (2Rsincos; 2R(cos)^2), точка E имеет координаты (R/2, R/2). Уравнение медианы: $$(x/R – sin2)/(1/2 – sin2) = (y/2R – (cos)^2)/(1/4 – (cos)^2)$$ В единственном случае, когда медиана параллельна оси Y-ков, угол определяется без проблем. Из уравнения медианы в этом случае следует, что знаменатель коэффициента при неизвестной x должен быть равен нулю. Имеем: (1/2 – sin2) = 0; = 15 градусов Итак, угол BAD равен 15 градусов, угол BAC равен 30 градусов, угол BCA равен 105 градусов. Как следует из этого решения, в условии задачи деление медианой угла в 45 градусов на его составляющие в 15 и 30 градусов является избыточной информацией. отвечен 17 Май '12 13:22 nikolaykruzh... |