Здравствуйте. Помогите, пожалуйста, справиться со следующим заданием:

Найти коэффициенты в разложении функции:

alt text

Решение, предложенное в этой теме, к сожалению, преподаватель не принял. Он обосновал это тем, что в данном разложении функции все же можно найти коэффициенты.

Тема: Разбиение числа. Производящие функции. Спасибо.

задан 3 Дек '14 22:13

изменен 4 Дек '14 13:57

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

Я сейчас напишу здесь решение для другой задачи -- где в степень $%k$% возводится $%q$% вместо $%z$%. Для прежнего случая всё остаётся в силе.

(5 Дек '14 19:17) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

Рассматриваем следующую задачу: найти коэффициенты в разложении функции $$\prod\limits_{k=1}^{\infty}\frac1{1-q^kz}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}B_nz^n.$$

Обозначим функцию в левой части равенства через $%F(z)$%. Тогда $%F(qz)$% равно произведению тех же выражений по $%k$% от двух до бесконечности, откуда $%F(qz)=(1-qz)F(z)$%. Легко видеть, что $%B_0=1$%. Рассмотрим равенство двух рядов $%\sum\limits_{n=0}^{\infty}B_nq^nz^n=(1-qz)\sum\limits_{n=0}^{\infty}B_nz^n$%, раскроем скобки, и приравняем члены при одинаковых степенях. В правой части получится $%B_0+(B_1-qB_0)z+(B_2-qB_1)z^2+\cdots$%, откуда $%q^nB_n=B_n-qB_{n-1}$% при $%n\ge1$%. Это значит, что $%B_n=\frac{q}{q^n-1}B_{n-1}$%, то есть $%B_1=\frac{q}{q-1}$%, $%B_2=\frac{q^2}{(q-1)(q^2-1)}$%, ... , $%B_n=\frac{q^n}{(q-1)(q^2-1)\ldots(q^n-1)}$%.

ссылка

отвечен 5 Дек '14 19:28

Спасибо большое! Надо поймать преподавателя и все выспросить.

(5 Дек '14 19:29) Ivan7776
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×169

задан
3 Дек '14 22:13

показан
826 раз

обновлен
12 Дек '14 23:11

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru