|
Здравствуйте. Помогите, пожалуйста, справиться со следующим заданием: Найти коэффициенты в разложении функции:
Решение, предложенное в этой теме, к сожалению, преподаватель не принял. Он обосновал это тем, что в данном разложении функции все же можно найти коэффициенты. Тема: Разбиение числа. Производящие функции. Спасибо. задан 3 Дек '14 22:13 
Ivan7776 |
|
Рассматриваем следующую задачу: найти коэффициенты в разложении функции $$\prod\limits_{k=1}^{\infty}\frac1{1-q^kz}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}B_nz^n.$$ Обозначим функцию в левой части равенства через $%F(z)$%. Тогда $%F(qz)$% равно произведению тех же выражений по $%k$% от двух до бесконечности, откуда $%F(qz)=(1-qz)F(z)$%. Легко видеть, что $%B_0=1$%. Рассмотрим равенство двух рядов $%\sum\limits_{n=0}^{\infty}B_nq^nz^n=(1-qz)\sum\limits_{n=0}^{\infty}B_nz^n$%, раскроем скобки, и приравняем члены при одинаковых степенях. В правой части получится $%B_0+(B_1-qB_0)z+(B_2-qB_1)z^2+\cdots$%, откуда $%q^nB_n=B_n-qB_{n-1}$% при $%n\ge1$%. Это значит, что $%B_n=\frac{q}{q^n-1}B_{n-1}$%, то есть $%B_1=\frac{q}{q-1}$%, $%B_2=\frac{q^2}{(q-1)(q^2-1)}$%, ... , $%B_n=\frac{q^n}{(q-1)(q^2-1)\ldots(q^n-1)}$%. отвечен 5 Дек '14 19:28 
falcao Спасибо большое! Надо поймать преподавателя и все выспросить.
(5 Дек '14 19:29)
Ivan7776
|
Я сейчас напишу здесь решение для другой задачи -- где в степень $%k$% возводится $%q$% вместо $%z$%. Для прежнего случая всё остаётся в силе.