|
Мартин пошел 06:00 от города в деревню пешком и дошел в 8:00. На следующий день возвращался по той же дороге от 06:00 до 8:00. Доказать, что существует точка в обратном пути, где он был в то же время, когда пошел в деревню. задан 4 Май '12 14:23 
ASailyan |
|
Условие задачи можно значительно ослабить. "Мартин вышел из города в $%6$% часов, пришел в деревню в $%8$%, обратно же он вышел на следующий день в промежуток от $%6$% до $%8$% (а когда пришел - неважно)". В этом случае все остается в силе, для доказательства достаточно рассмотреть плоскость $%(t,x)$% и графики движения на ней. Пусть, расстояние между городом и деревней равно $%1$%. Тогда график прямого движения - это непрерывная кривая, которая начинается в точке $%(0,0)$% и заканчивается в точке $%(2,1$%). График обратного движения - это тоже непрерывная кривая, начинающаяся на внутренней точке отрезка с концами $%(0,1$%), $%(2,1)$%, а заканчивающаяся на точке луча $%[Ot)$%. Очевидно, что эти кривые пересекаются. Дополнение для Chipnddail. Ну, луч, конечно, $%[Ot)$%, я поправил, вопросы по поводу остальных моментов решения я не совсем понял. Но уточняю. Итак, мы рассматриваем фазовую плоскость $%(t,x)$%, полупрямая $%x=0$% соответствует нахождению Мартина в городе, а полупрямая $%x=1$% - в деревне. Ось $%t$% проградуирована в часах. Отсчет времени начинаем с момента выхода Мартина из города (т.е. с 6 часов), поэтому 8 часов соответствуют значению времени $%t=2$%. Любое событие "нахождение Мартина в любом месте дороги, включая конечные пункты" - это какая-то точка полосы $%t \ge 0 \;$%, $%x \ge 0\;$%, $%x \le 1\;$%. Эта полоса разбивается на прямоугольники длины 24, которые мы считаем эквивалентными. Прямой путь Мартина (из города в деревню) это кривая - множество точек фазовой плоскости, каждая из которых соответствует нахождению Мартина в некоторой точке в некоторый момент времени. Непрерывность этой кривой следует из физики (вторая производная координаты по времени пропорциональна силе, действующей на Мартина, а сила, если она, конечно, не волшебная, должна быть конечной). Обратное движение Мартин начинает, конечно, во втором прямоугольнике, но, т.к. мы считаем прямоугольники эквивалентными, эта точка переносится в первый прямоугольник. Прямой путь разбивает прямоугольник на 2 области (левую I и правую II). Далее решается более общая задача, чем исходно сформулированная (она сформулирована в начале моего решения). Начальная точка обратного пути соответствует значениям $%0 \gt t \gt 2,\;x = 1$%, конечная точка - это какая-то точка полупрямой $%x = 0$%. Если мы ограничимся рассмотрением 1 суток (т.е. одного прямоугольника), то конечная точка будет лежать либо на его стороне $%0 \gt t \ge 24,\;x = 0$%, либо на стороне $%t=24, \;0 \gt x \ge 1$%. В любом случае начальная точка лежит в области I, а конечная - в области II, поэтому, из непрерывности кривой обратного пути следует пересечение этой кривой с кривой прямого пути. Для DocentI (ответ на комментарий). Конечно, это детская задача. Но увидев, что все к ней отнеслись так серьезно, я тоже поддался этому настрою. С другой стороны, повод обсуждения серьезных вопросов, в данном случае - вопроса о непрерывности фазовой траектории, может быть любым. отвечен 6 Май '12 1:49 
Андрей Юрьевич 1
Не понял, куда делся вопрос-ответ от Chipnddail, на который я так подробно отвечал?
(7 Май '12 1:02)
Андрей Юрьевич
Про физику написал в расчете на Ваше чувство юмора. Что касается теоремы о неподвижной точке - близко, конечно, но не готов утверждать, что данная задача - частный случай этой теоремы. Для этого задачу нужно переформулировать в терминах какого-то сжатого отображения.
(7 Май '12 1:52)
Андрей Юрьевич
Непрерывность ниоткуда не следует, ее надо вводить в условие (если решать задачу на абстрактном уровне). Теорема о неподвижной точке здесь ни к чему, это просто свойство непрерывной функции на отрезке.
(8 Май '12 1:02)
DocentI
Непрерывность следует из содержания текстовой задачи: если бы в ней двигался не "Мартин", а просто какой-нибудь "объект", то непрерывность нужно бы оговаривать особо. А если это все-таки "Мартин" - вряд ли он способен преодолеть конечное расстояния за нулевое время.
(8 Май '12 1:49)
Андрей Юрьевич
Ну да, я тоже в другом комментарии (к ответу @ASailyan) говорила об отсутствии "порталов" или дыр в пространстве/времени. Но в таком случае вообще не нужна непрерывность, достаточно "Патрика" из моего ответа. Он ведь тоже не перескочит через пространство (и через Мартина). В крайнем случае, можно взять Кристину. Веселее будет встречаться.
(8 Май '12 1:55)
DocentI
Я так вообще думаю, что Ваше решение ничем не отличается от моего, только сформулировано по-другому.
(8 Май '12 1:58)
Андрей Юрьевич
Где-то да. Я тоже об этом написала в своем решении. Только, боюсь, не оказался ли заразным "синдром Галактиона". Детскую задачку решаем такими заумными способами.
(8 Май '12 2:04)
DocentI
показано 5 из 7
показать еще 2
|
|
Пусть на второй день из города в деревню пойдет Патрик, и повторит путь Мартина со всеми остановками, с теми же скоростями и т.п. Они где-то обязательно встретятся. Эта точка и будет искомой, так как они окажутся в ней в одно и то же время суток (хотя и других). Поэтому упоминание 8:00 неважно, достаточно, что они вышли одновременно. Или, наоборот, пришли одновременно в пункт назначения. А вот если снять оба условия, может оказаться, что Мартин уже дошел до деревни, а Патрик еще не вышел - тогда они не встретятся. Решение по сути то же самое, но для "чайников". отвечен 5 Май '12 23:51 
DocentI |
|
Рассмотрим две непрерывние функции $%f(t)$% и $% g(t)$% с областью определения $%[6;8]$%. Это расстояния Мартина от города в момент $% t $% ( $% f(t)$% по дороге в деревнью, a $% g(t)$% в обратном пути).Тогда для непрерывной функции $% F(t)=f(t)-g(t)$% , выполняются условия первой теоремы Больцано-Коши $% F(6)<0, F(8)>0 $% значит в промежутке $% (6;8)$% существует хотя бы одна точка $%t_0$%, такое что $% F(t_0)=0$% .Значит $% f(t_0)=g(t_0)$%. отвечен 6 Май '12 0:35
ASailyan Так-как в каждой точке t Мартин имеет определенную конечную скорость,значить функции f(t) и g(t) дифференцируемы, следовательно непрерывни.
(7 Май '12 18:07)
ASailyan
Думаю, дело не в этом. И непрерывность, и дифференцируемость - свойства абстрактных математических функций, в жизни нет ничего непрерывного. С таким же успехом можно сказать, что непрерывность f и g следует из отсутствия "порталов", т.е. дыр в пространстве/времени, позволяющих мгновенно переместиться в другое место. Если считать, что решается физическая задача, то никакой непрерывности не надо, достаточно "Патрика". А если математическая - непрерывность надо постулировать в условии задачи.
(8 Май '12 0:59)
DocentI
А я думаю, что в жизьни нет ничего не непрерывного. В этой задаче непрерывность очевидно. Ведь когда мы по эл. почте обменивались решениямы, Вы не сомневались, даже написали, что я привела строгое математическое доказание.
(8 Май '12 8:19)
ASailyan
Если верить физикам, пространство состоит в основном из пустоты (атомы, протоны, электроны, кварки в вакууме...). На самом деле здесь 2 задачи: реальная, механическая и формальная, математическая. Реальный процесс нельзя полностью формализовать. Вот, например, мы предполагаем, что дорога - это линия, а Мартин - точка. Но ведь на самом дела и то и другое имеет ширину. И вполне возможно, что Мартин шел все время по правой стороне дороги, т.е по разные ее стороны. Тогда он не проходил по тому же месту второй раз, а шел по противоположной стороне дороги. В модели всегда есть условность.
(8 Май '12 9:24)
DocentI
|
|
Возьмем 2 функции f (x) - координата от времени в 1 день, и g (x) - во второй день, функции $$f () \wedge g (x) \in C[0;x_f]\ \ \ \ ; \ \ \ \ 06:00 \rightleftharpoons 0 \wedge 08:00 \rightleftharpoons x_f$$ $$ \sqsupset f (0) = 0 \wedge f (x_f) = S\ \ => g (0) = S \wedge g (x_f) = 0$$ $$ h (x)\equiv f(x)-g(x) : h(0)=-S < 0\wedge h(x_f)=S>0 \wedge h(x)\in C[0;x_f]$$ $$ !\ \ \ \ \exists x_0 : h(x_0) = 0$$ Будем делить отрезок $%[0;x_f]$% пополам, если $%h (x_n) = 0$% - утверждение доказано. Если $% h(x_n) < 0 $%, то будем делить пополам отрезок $%[x_n;x_i]$% ,иначе $%[x_i;x_n]$%. В результате получится 2 бесконечные последовательности $$ a_n \wedge b_n : \{[a_n;b_n]\}{n=1}^\infty - стягивающийся\ отрезок $$ $$\forall n \in \aleph \ \ \ h(a_n) < 0 \wedge h(b_n) > 0$$ , так как отрезки стягиваются $$ => \exists ! C\ \ \ \forall n \in \aleph : C \in \{[a_n;b_n]\}{n=1}^\infty $$ $$ ^* \wedge h(x)\in C[0;x_f] <=> \lim_{n \rightarrow \infty } h(a_n) = \lim_{n \rightarrow \infty} h(b_n) =0 $$ Мы нашли точку, в которой функция обращается в ноль,чтд. отвечен 5 Май '12 23:24 
Balon Опять нарушения в отображении формул! Пыталась править - на контрольном экране все отображается нормально!
(5 Май '12 23:46)
DocentI
Тоже самое, сейчас правлю потихоньку
(5 Май '12 23:48)
Balon
Похоже, ряды галактионов ширятся!! ;-)) Может, сказать проще: разность f(x) - g(x) непрерывна и меняет знак на отрезке [6; 8], значит, она обращается в 0 в некоторой промежуточной точке.
(5 Май '12 23:50)
DocentI
|
|
Предполагаю, что задача ASailyan аналогична задаче о доказательстве следующей импликации: $% \begin {cases} \mathfrak{F} = \{\langle t,x \rangle| \ \langle t,x \rangle \in [0, 1]^2 \wedge x = f(t) \wedge 0 = f(0) \wedge 1 = f(1) \wedge f \in C([0, 1])\} \\ \mathfrak{G} = \{\langle t,x \rangle| \ (\langle t,x \rangle \in [0, 1]^2 \wedge x = g(t) \wedge 1 = g(0) \wedge 0 = g(1) \ \wedge g \in C([0, 1])\} \end {cases} \rightarrow \mathfrak{F} \cap \mathfrak{G} \neq \varnothing$% Частным случаем предыдущей задачи является следующая задача: "Докажите импликацию $% \begin {cases} \mathfrak{G} = \{\langle t,x \rangle| \ \langle t, x \rangle \in [0,1] \times [0,1] \wedge x = 1 - t\} \\ \mathfrak{F} = \{\langle t,x \rangle| \ \langle t,x \rangle \in [0,1] \times [0,1] \wedge x = t^2\} \end {cases} \rightarrow \mathfrak{F} \cap \mathfrak{G} \neq \varnothing$%". отвечен 6 Май '12 2:16 
Галактион |
Подождите неделю, может кто-то найдет решение.Но мне интересно решение которое вы знаете. Я эту задачу слишала очень давно,когда была студентом, по радио,в какой то развлекательной программе.Задача запоминалась,потому что сама нашла хорошое решение. Но формулировку точно не помню, негде не написала. Но в этой формулировке она тоже интересная и как видите не легкая.
А не сводится-ли эта задача к такой: "Из двух пунктов одновременно навстречу друг другу вышли два пешехода ..."?
Автор просила не подсказывать пока... ;-))
Я придумал решение, его надо писать ,или еще ждем?
Ждем вашего решения.