Разложить в ряд по степеням $%x$% заданную функцию и указать область сходимости ряда: $${\rm arctg}(\frac {x-3}{x+3}).$$

Находим производную функции: $%f'(x)=\frac 3{x^2+9}$%.

Что нужно делать далее?

задан 5 Дек '14 17:20

изменен 7 Дек '14 21:01

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

1

Дальше записываем функцию в виде $%\frac13\cdot\frac1{1+(x/3)^2}$% и раскладываем в ряд как геометрическую прогрессию. То, что получится, почленно интегрируем.

(5 Дек '14 17:31) falcao

Раскладывая в геометрический ряд получаем: $$\frac 13(1+\frac {x^2}{3^2}+\frac {x^4}{3^4}+...+\frac {x^2n}{3^2n}).$$ Так?

(8 Дек '14 17:13) Katrin
1

@Demit: там знаки должны чередоваться.

(8 Дек '14 17:16) falcao

в итоге получилось: $${\rm arctg}(\frac {x-3}{x+3})=\sum\limits_{n=0}^{+ \infty} (-1^{n+1}) \cdot (\frac {x^{2n+1}}{(3n+1) \cdot 3^{2n+1}})+C, C= \frac {\pi}4.$$ если $%x=3$%, то $% \frac {\pi}4=1-\frac 14+ \frac 17-...+(-1^n \cdot(\frac 1{3n+1}))$%. А как из всего этого указать область сходимости ряда?

(8 Дек '14 21:06) Katrin
1

Получился степенной ряд, поэтому надо найти радиус сходимости

(8 Дек '14 21:31) Mather
1

@Demit: область сходимости определяется из тех соображений, что если есть геометрическая прогрессия со знаменателем $%q$%, то для сходимости нужно $%|q|<1$%. Здесь это даёт $%|x|<3$%.

(8 Дек '14 21:37) falcao
1

@Demit: интервал сходимости такой, но если надо ещё исследовать концы, то там добавится точка $%x=3$%. Знакочередующийся ряд там будет сходиться по признаку Лейбница.

(8 Дек '14 22:29) falcao
показано 5 из 7 показать еще 2
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×658
×54

задан
5 Дек '14 17:20

показан
695 раз

обновлен
8 Дек '14 22:37

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru