1
1

Существует ли такая функция $%f(x) :\mathbb{R} → \mathbb{R}$% (видимо, элементарная и непрерывная)), что $%f(f(x))=x^2-2 $% для всех вещественных $%x$%?

задан 7 Дек '14 23:20

изменен 7 Дек '14 23:51

EdwardTurJ's gravatar image


501294194

Я когда-то предлагал задачу про эту функцию на олимпиаде. Там получалось хорошее аналитическое выражение, но не на всей прямой, а только при $%x\ge2$%. Если интересно, могу поднять свои "архивы" и изложить решение. Там, правда, был уже дан ответ, и надо было проверить, что указанная функция удовлетворяет функциональному уравнению.

(8 Дек '14 0:04) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
4

Вот условие задачи, предлагавшейся на олимпиаде.

Функция $%f(x)$% на промежутке $%[2,\infty)$% задана формулой $$ f(x)=\left(\frac{x+\sqrt{x^2-4}}2\right)^{\sqrt{2}}+\left(\frac{x-\sqrt{x^2-4}}2\right)^{\sqrt{2}}. $$ Доказать, что $%f(f(x))=x^2-2$% для всех $%x\ge2$%.

Решение. Положим $%t=(x+\sqrt{x^2-4})/2$%. Очевидно, что $%t\ge1$% при $%x\ge2$%, и $$ \frac1t=\frac2{x+\sqrt{x^2-4}}=\frac{2(x-\sqrt{x^2-4})}{(x+\sqrt{x^2-4})(x-\sqrt{x^2-4})}=\frac{x-\sqrt{x^2-4}}2. $$ При этом $%x=t+1/t$%, и $%f(t+1/t)=t^{\sqrt2}+1/t^{\sqrt2}$%. Это равенство справедливо при всех $%t\ge1$%, так как для любого $%x\ge2$% можно составить уравнение $%t+1/t=x$% и решить его относительно $%t$%, что приводит к тому выражению $%t$% через $%x$%, с которого начиналось рассуждение.

Отсюда $%f(f(x))$% равно $$ f\left(f\left(t+\frac1t\right)\right)=f\left(t^{\sqrt2}+\frac1{t^{\sqrt2}}\right)= (t^{\sqrt2})^{\sqrt2}+\frac1{(t^{\sqrt2})^{\sqrt2}}=t^2+\frac1{t^2}=\left(t+\frac1t\right)^2-2, $$ а это и есть $%x^2-2$%.

Добавление. Можно продолжить функцию на отрезок $%[0;2]$% следующим образом. Пусть $%x\in[0;2]$%. Положим $%t=\arccos\frac{x}2$%; тогда $%2\cos t=x$%. Определим функцию как $%f(x)=f(2\cos t)=2\cos(\sqrt2t)$%. Тогда $%f(f(x))=f(2\cos(\sqrt2t))=2\cos2t=4\cos^2t-2=x^2-2$%.

Графики обеих функций склеиваются в точке $%(2;2)$%, и получается непрерывная функция. Она продолжается по чётности на отрицательную полуось, что даёт функцию из $%\mathbb R$% в $%\mathbb R$%. Итоговая функция будет непрерывной, но она не дифференцируема в нуле. В точке $%x=2$% левая и правая производная равны 2, и там дифференцируемость имеет место.

ссылка

отвечен 8 Дек '14 2:11

изменен 8 Дек '14 2:45

@falcao: можно придумать всюду дифференцируемую $%f$%?

(8 Дек '14 14:31) student

@student: мне из общих соображений кажется, что нельзя, но такие вещи обычно доказываются достаточно сложно. Возможно, что в обсуждении по ссылке от @EdwardTurJ можно найти какую-то информацию по этому вопросу.

(8 Дек '14 14:36) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1
ссылка

отвечен 7 Дек '14 23:40

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×104

задан
7 Дек '14 23:20

показан
931 раз

обновлен
8 Дек '14 14:36

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru