многогранники - Тетраэдр и его разновидности

Пусть имеется треугольник площади d. Возьмём внутри него произвольную точку и соединим её с его вершинами. Она разделит площадь d на три треугольника, площади которых: a, b и c. Очевидно, что имеет место равенство (1): (1) $$a + b + c = d$$. Восстановим в этой случайно выбранной точке перпендикуляр к плоскости треугольника и выберем на нём произвольную точку, соединив которую с вершинами исходного треугольника, получим пирамиду с площадями граней e, f, g. Поставим ограничения (2) и (3):
(2) $$ e < d, f < d, g < d,$$
(3) $$(e + f + g) > d$$ Несложно показать, что для неравенства (3) всегда существует единственное вещественное положительное число x (1 < x < ∞), такое, что выполняется равенство (4): (4) $$e^x + f^x + g^x = d^x$$ При х = 1 тривиально выполняется равенство (1), при x, промежуточном между единицей и бесконечностью, уравнение (4) описывает сложную фигуру 3-мерного пространства, отвечающую ограничениям (2). При e, стремящемся к d, или f, стремящемся к d, или g, стремящемся к d, или любом их сочетании в соотношении (4) всегда x стремится к ∞. Условимся считать, что во всех случаях, когда x стремится к ∞, уравнение (4) описывает некоторую гиперповерхность 3-мерного пространства.
Пусть теперь исходный треугольник будет равносторонним. Перпендикуляр восстановлен в центре его тяжести. Все боковые грани пирамиды при 1 < x < ∞ равны между собою. При x, стремящемся к ∞, пирамида из уравнения (4) обращается в правильный тетраэдр в том случае, если все три величины левой части уравнения стремятся к величине d.
Следующий шаг. Будем вращать основание правильного тетраэдра вокруг каждой из трёх его сторон до пересечения друг с другом дуг, описываемых вершинами правильного треугольника. Полученная фигура имеет вид трёхгранного клина с криволинейными, дугообразными рёбрами. Фигура как будто несложная, но я не могу составить подынтегральное выражение для определения объёма и боковой поверхности полученной фигуры . Интересно бы сопоставить её объём с объёмом правильного тетраэдра. Подскажите, пожалуйста, «быстрые разумом Невтоны»!