|
Обозначим через $%S(k)$% сумму цифр десятичной записи натурального числа $%k$%. Доказать, что последовательность $%S(2^1),S(2^2),S(2^3),S(2^4),\cdots$% неограничена, но для бесконечно многих $%n$% выполняется неравенство $%S(2^n)>S(2^{n+1})$%. задан 8 Дек '14 23:14 
EdwardTurJ |
|
Предположим, что с некоторого места последовательность $%S(2^n)$% возрастающая. У степеней двойки остатки от деления на $%9$% повторяются через $%6$% шагов: $%1,2,4,8,7,5,..$%, поэтому за шесть шагов члены последовательности $%S(2^n)$% возрастают не менее, чем на $%1+2+4+8+7+5=27$%. Получается, что за $%6$% шагов степень двойки увеличивается в $%64$% раза (не более чем на две цифры), а $%S(2^n)$% растет быстрее, как за $%27/9=3$% три цифры. (Задача С.Конягина) отвечен 11 Дек '14 20:22
EdwardTurJ 1
Красивая задача! Автор -- "наш", мехматский :) Я подозревал, что тут могут быть использованы асимптотические соображения, и даже про возможность привлечения остатков от деления на 9 думал, но в целом мои идеи и подходы были далеки от нужных соображений.
(11 Дек '14 23:32)
falcao
|
Как доказывать неограниченность -- понятно: за счёт того, что степень двойки может начинаться с любого набора цифр. Последнее следует из иррациональности lg 2. Что касается второй части, то тут мне пока совершенно неясно, за счёт чего это можно сделать. Критерий того, когда S(k)>S(2k), нетрудно вывести, и это свойство зависит от состава цифр, но при этом я не вижу способов доказать, что требуемый состав встречается бесконечно часто.