Обозначим через $%S(k)$% сумму цифр десятичной записи натурального числа $%k$%.

Доказать, что последовательность $%S(2^1),S(2^2),S(2^3),S(2^4),\cdots$% неограничена, но для бесконечно многих $%n$% выполняется неравенство $%S(2^n)>S(2^{n+1})$%.

задан 8 Дек '14 23:14

Как доказывать неограниченность -- понятно: за счёт того, что степень двойки может начинаться с любого набора цифр. Последнее следует из иррациональности lg 2. Что касается второй части, то тут мне пока совершенно неясно, за счёт чего это можно сделать. Критерий того, когда S(k)>S(2k), нетрудно вывести, и это свойство зависит от состава цифр, но при этом я не вижу способов доказать, что требуемый состав встречается бесконечно часто.

(11 Дек '14 10:03) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

Предположим, что с некоторого места последовательность $%S(2^n)$% возрастающая.

У степеней двойки остатки от деления на $%9$% повторяются через $%6$% шагов: $%1,2,4,8,7,5,..$%, поэтому за шесть шагов члены последовательности $%S(2^n)$% возрастают не менее, чем на $%1+2+4+8+7+5=27$%.

Получается, что за $%6$% шагов степень двойки увеличивается в $%64$% раза (не более чем на две цифры), а $%S(2^n)$% растет быстрее, как за $%27/9=3$% три цифры.

(Задача С.Конягина)

ссылка

отвечен 11 Дек '14 20:22

1

Красивая задача! Автор -- "наш", мехматский :)

Я подозревал, что тут могут быть использованы асимптотические соображения, и даже про возможность привлечения остатков от деления на 9 думал, но в целом мои идеи и подходы были далеки от нужных соображений.

(11 Дек '14 23:32) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×42

задан
8 Дек '14 23:14

показан
4670 раз

обновлен
11 Дек '14 23:32

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru