3
1

Сардаана разрезала торт на 10 частей и скушала самую маленькую часть. Затем она разрезала одну из оставшихся частей на две и снова слопала самую маленькую часть из десяти. Потом она снова разрезала одну из оставшихся частей на две и снова схомячила самую маленькую часть из десяти. Какую максимальную долю торта могла съесть Сардаана и почему?

задан 9 Дек '14 2:27

Ответ, по-моему,1/4 торта

(11 Дек '14 3:03) sliy

Мне тоже так показалось.

(11 Дек '14 3:05) falcao

И мне кажется, что четверть...

(18 Дек '14 3:18) حنين

А математически как доказывается?

(16 Янв '17 12:04) Isaev

@Isaev: наверное, имеет смысл изложить решение.

(19 Янв '17 4:49) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
2

Пример, когда съедается 1/4 торта, строится таким образом. Торт постепенно разрезается на 12 равных частей. Сначала три из этих частей объединены вместе. Потом от них отрезается два раза по 1/12 от всей доли. Тогда на каждом шаге кушается, лопается и схомячивается по 1/12.

Докажем, что это оптимальное значение. Из общих соображений следует, что оптимальная стратегия существует. Пусть $%x_1\le x_2\le\cdots\le x_{12}$% -- те доли торта, которые образуются в процессе разрезаний. Допустим, что они не все равны между собой. Тогда существует такое $%k$%, для которого $%x_1=\cdots=x_k < x_{k+1}$%. Пусть следующие $%m$% чисел, начиная с $%x_{k+m}$%, равны между собой: $%x_{k+1}=\cdots=x_{k+m}$%. Далее либо идёт снова строгое неравенство, либо номер $%k+m=12$% является последним.

Проверим, что такая стратегия не оптимальна. Действительно, для некоторого достаточно малого $%\varepsilon > 0$% можно уменьшить каждое из $%m$% чисел на величину $%\varepsilon/m$%, а каждое из первых $%k$% чисел увеличить на $%\varepsilon/k$%. Общая сумма останется той же. Неравенство $%x_k+\varepsilon/k < x_{k+1}-\varepsilon/m$% при достаточно малом $%\varepsilon$% будет выполняться, и то же насчёт неравенства $%x_{k+m}-\varepsilon/m < x_{k+m+1}$% для случая $%k+m < 12$%.

Ясно, что самый маленький кусок величиной $%x_1$% на каком-то из шагов обязательно съедался. Все неравенства после изменений имеют прежний тип, и теперь вместо $%x_1$% съедается большее количество.

ссылка

отвечен 19 Янв '17 5:02

2

Здесь привлечение $%\varepsilon$% выглядит избыточным. В реале достаточно заменить каждое из первых $%k+1$% чисел на их среднее арифметическое. Все первые числа при этом увеличатся.

(19 Янв '17 11:41) knop
1

@knop: да, это хорошее соображение. Я при попытках найти доказательство основывался на том соображении, что в задачах типа линейного программирования, максимум не может достигаться во внутренних точках области. Но Ваша идея лучше: тут тип неравенств не меняется, и всё действительно работает.

(19 Янв '17 12:00) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,403
×1,131
×370
×211
×42

задан
9 Дек '14 2:27

показан
815 раз

обновлен
19 Янв '17 12:00

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru