В прямоугольном треугольнике $%ABC$% из вершины прямого угла проведена высота $%CD$%. Биссектрисы $%DM$% и $%DN$% треугольника $%ADC$% и $%BDC$% соответственно равны $%12$% и $%5$%. Найти биссектрису треугольника $%ABC$%, проведенную из вершины прямого угла.

задан 9 Дек '14 18:04

изменен 9 Дек '14 19:42

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

10|600 символов нужно символов осталось
1

Обозначим сторону $%AC=a, \angle A=\alpha$%... Тогда $%CD=a\sin\alpha,\;AD=a\cos\alpha$%...

По теореме о биссектрисе получим, что $$ CM=\frac{a\sin\alpha}{\sin\alpha+\cos\alpha},\quad AM=\frac{a\cos\alpha}{\sin\alpha+\cos\alpha} $$

Восстанавливаем перпендикуляр в точке $%M$% до пересечения с гипотенузой - $%ME$% ... и получаем, что $%ME=AM\cdot tg\alpha=\frac{a\cos\alpha}{\sin\alpha+\cos\alpha}\cdot \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=CM$%... Следовательно, $%CE$% - биссектриса...

Легко проверяется, что $%CN=CM$%, значит, $%CNEM$% - квадрат...

Нетрудно заметить, что $%CNDM$% можно вписать в окружность... а из вышесказанного следует, что $%E$% лежит на той же окружности и $%CE$% - диаметр...

Вот уже и ответ...

alt text

ссылка

отвечен 9 Дек '14 22:09

10|600 символов нужно символов осталось
2

Очень красивый рисунок у Вас! А я немножко по-другому эту задачу решала. А именно: сначала проводим биссектрису прямого угла, получили точку Е. Потом из этой точки проводим отрезки ЕХ и ЕУ параллельно катетам, Получили квадрат. Вокруг квадрата описываем окружность. Центр окружности в точке пересечения диагоналей квадрата. Точка D будет лежать на окружности, поскольку угол СDE прямой. Дуга СХ и дуга СУ по 45 градусов. Тогда вписанные углы CDX и CDY, опирающиеся на эти дуги, тоже по 45 градусов. Из этого следует, что DX и DY биссектрисы углов ADC и BDC соответственно, то есть точки Х и У совпадают с точками М и N соответственно. Тогда угол MDN прямой. Из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора находим MN = 13. Значит, и СЕ = 13.

ссылка

отвечен 9 Дек '14 22:51

Пожалуй у Вас немного проще получается...

(9 Дек '14 23:11) all_exist
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×442
×27

задан
9 Дек '14 18:04

показан
845 раз

обновлен
9 Дек '14 23:11

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru