Я знаю, что комплексные числа нельзя сравнивать из-за "равных" неравных чисел, но, например, 2 < 2 + 2i. Я ведь прав?

P.S. - Ваше мнение по этому вопросу основано на логике или на общепринятой математике?

задан 7 Май '12 13:01

изменен 7 Май '12 13:06

По-моему, как раз поэтому. Мне в голову уже давно напрашивается лёгкая и обоснованная система сравнения комплексных чисел. При сравнении комплексных чисел между собой нужно заменять их на такое выражение: $$\frac{\sqrt{a^2+b^2}(a+b)}{|a|+|b|}$$ Где a - действительная, b - мнимая части этих чисел. Как и в действительных числах сравниваются длины векторов (модулей) с учётом их направления. Но всё портит то, что по этой формуле равны неравные числа. Хотя можно ввести ввести знак "комплексно равно" (например, 2+i комплексно равно 1+2i, или 3 комплексно равно 3).

(7 Май '12 18:10) Никита Башаев

Можно много чего вводить, например, сравнение комплексных чисел по модулю, вещественной, мнимой части и еще множеству других вещественных функций от них. Но никакая функция, переводящая комплексные числа в действительные не будет взаимно-однозначной (если она достаточно "хорошая"). Так как комплексная плоскость и прямая имеют разные размерности). Вы сравниваете значения "своей" функции, а не сами числа.

(8 Май '12 0:47) DocentI

Всем спасибо за ответы. Особенно спасибо за дополнительную информацию. =)

(13 Май '12 14:18) Никита Башаев
10|600 символов нужно символов осталось
1

Нет, не поэтому. Потому что комплексные числа это, по сути векторы, они задаются парой чисел. А что больше, (2; 3) или (4; 2)? Соответственно, что больше 2 + 3i или 4 + i?

Впрочем, комплексные числа нельзя сравнить "разумным" способом. Какое-нибудь сравнение можно придумать для любого множества (т.е. вполне упорядочить его). Но это построение не конструктивно, оно требует применения аксиомы выбора.

Еще проще ввести частичный порядок, например, считать , что $%a+ bi < x+yi$% только при (a < x, b < y).

Дополнение.Задумалась о таком аспекте. В теории отношений есть понятие "линейный порядок". Т.е. такой, что для каждых двух неравных элементов выполняется либо $%a < b$%, либо $%b < a$%. Смысл названия понятен: такие элементы можно "вытянуть в линию", как числа на прямой. У диаграммы Хассе такого порядка все уровни состоят из 1 элемента.

В то же время мы можем ввести на комплексной плоскости порядок, например, так: $%z \prec w \Leftrightarrow (x < u \vee (x = u, y < v)) $%. Здесь, конечно, $%z= x + iy, w = u + iv$%. Это действительно порядок (т.е. транзитивное асимметричное отношение), и он линеен. Однако при этом комплексная плоскость вовсе не вытягивается в линию. Вернее, такую линию можно себе представить, но она должа состоять из бесконечного числа прямых x = const, "приставленных" друг к другу.

Кстати, этот порядок согласован с порядком на вещественной прямой. Впрочем, как и другой, в котором сравнение идет сначала по мнимой части: $%z \prec w \Leftrightarrow (y < v \vee (y = v, x < u)) $%.

ссылка

отвечен 7 Май '12 13:20

изменен 12 Май '12 11:25

1

Такую "линию" тоже можно рассматривать как спираль, проходящую через бесконечность.

(12 Май '12 23:38) Андрей Юрьевич

Да, я тоже об этом подумала.

(13 Май '12 1:23) DocentI
10|600 символов нужно символов осталось
3

Вот, например, простой способ упорядочивания комплексных чисел: будем считать, что $%z_1>z_2$%, если $%|z_1|>|z_2|$%. Если же модули чисел равны, т.е. $%|z_1|=|z_2|$%, то будем считать большим то число, у которого больше аргумент. Но для любого математического построения важна конструктивность: где и как такое сравнение можно использовать?

Ответ на комментарий (для Никиты Башаева). Вашу последнюю реплику я не совсем понял, но про "пару действительных чисел" постараюсь пояснить. Действительное число эквивалентно точке прямой, а комплексное число - точке плоскости, т.е. упорядоченной паре действительных чисел (координат точки). Но координаты можно вводить разными способами. Конечно, самая распространенная система координат - декартова прямоугольная, в ней точка $%z$% задается как пара действительных чисел $%(a,b)$%, где $%a=Re(z),b=Im(z))$%- действительная и мнимая части комплексного числа $%z$%. Но можно использовать и полярную систему координат, в этом случае точка $%z$% ,будет задаваться как другая пара действительных чисел $%(\rho,\phi)$%, где $%\rho=|z|,\phi=arg(z))$% - модуль и аргумент. А можно это сделать с помощью эллиптических, параболических или косоугольных координат. И вообще, существует бесконечно много возможных представлений комплексного числа в виде упорядоченной пары двух действительных чисел. Любое множество таких пар равномощно множеству действительных чисел, поэтому всегда можно построить взаимно-однозначное соответствие между этими множествами и, таким образом, упорядочить множество комплексных чисел (т.к. множество действительных чисел является вполне упорядоченным), и это можно сделать бесконечным числом способов. Один способ из этого бесконечного множества способов я предложил. Но вопрос о смысле и полезности такого упорядочивания остается открытым.

Дополнение (для Никиты Башаева)

1) Да, действительные числа при "спиральном упорядочивании" будут сравниваться по модулю (больше то, у которого больше модуль).

2) Число и точка - два базовых понятия математики, между ними всегда стараются установить взаимно-однозначное соответствие, чтобы свести эти 2 понятия к одному. Обычно такое соответствие устанавливается естественным образом.

3) Для $%R$% и $%C$% следует использовать не знак принадлежности, а знак подмножества.

Ответ на комментарий. И я о том же. При таком способе упорядочивания условие $% a_1+i \cdot 0 \lt a_2+i \cdot 0$% эквивалентно условию $% |a_1| \lt |a_2| $%

ссылка

отвечен 7 Май '12 19:09

изменен 13 Май '12 13:33

Да, и еще много других. Например, вместо модуля и аргумента взять вещественную и мнимую части. Или, наоборот, мнимую и вещественную. Или еще какие-нибудь функции от (x + iy). Вот от того, что способов много, и неясно, какой из них "правильный"

(8 Май '12 0:52) DocentI
1

Да, но но такой способ мне нравится чисто эстетически - упорядочивание вдоль спирали, плотно заполняющей комплексную плоскость.

(8 Май '12 1:14) Андрей Юрьевич

Спираль? И где она начинается? Вообще-то аргумент компл. числа - понятие многозначное, какой же выбирать?

Нет, тут спирали не будет, только семейство окружностей, разрезанных в какой-то точке, которые не "соединяются" друг с другом по причине своей несчетности. Эта "точка разреза" лежит на границе главного значения аргумента, например, на отрицательной части вещественной оси, если считать, что аргумент лежит в пределах от -pi до pi.

(8 Май '12 1:26) DocentI

Для аргумента, конечно, нужно брать период, где брать разрез - неважно, можно или по мнимой, или по действительной полуоси. Что касается "соединения" окружностей - это вопрос интерпретации, по-моему никто не мешает рассматривать систему таких разрезанных и ориентированных окружностей как спираль.

(8 Май '12 1:38) Андрей Юрьевич

Ну ладно, рассматривайте, хотя эта "спираль" отнюдь не будет линией. А в вопросах "нравится/не нравится" вообще товарища нет!
Я так, наоборот, не люблю аргумент за неоднозначность и необходимость резать плоскость.

(8 Май '12 1:40) DocentI

Спасибо за разрешение!

(8 Май '12 1:42) Андрей Юрьевич

У этого способа есть сильный ляп. Ведь действительные числа, входящие в состав комплексных, должны по такой системе сравниваться как по обычной. Хотя идея интересная.

(10 Май '12 22:32) Никита Башаев

Ну почему же "ляп"! Это недоработка автора вопроса: надо было сформулировать требования, которые вы хотите видеть у порядка. Кстати, это позволит сузить число возможных решений.

(10 Май '12 22:58) DocentI

А что, модуль и аргумент - это не "действительные, числа, входящие в состав комплексных"? Такая же упорядоченная пара действительных чисел, ничем не хуже. Если же вы хотите иметь дело только с действительной и мнимой частями - надо было об этом четко написать.

(10 Май '12 23:24) Андрей Юрьевич

Я вообще не ищу подходящую систему сравнения. Просто я думал, что, хоть и нет общепринятой системы сравнения, может-быть некоторые аспекты одинаковы для всех систем.

P.S. - "А что, модуль и аргумент - это не "действительные, числа, входящие в состав комплексных"?" - я говорил про множество R (содержащее рациональные и иррациональные числа).

(12 Май '12 11:03) Никита Башаев

$$ \mathbb{R} \in \mathbb{C} $$, где R - множество действительных чисел; C - множество комплексных. И по Вашей системе числа из множества R не сравниваются, как должны (по обычным правилам), с такими же числами.
Насчёт "упорядоченных пар действительных чисел (координат точки)". Я думал, что числа имеют другую природу, нежели точки в пространсте (всмысле, конечно, их можно представить таким образом для каких-либо целей, но это не самое правильное представлени). Разве нет?

(12 Май '12 22:28) Никита Башаев

"Для R и C следует использовать не знак принадлежности, а знак подмножества." - Ну да, подзабыл.

"Да, действительные числа при "спиральном упорядочивании" будут сравниваться по модулю (больше то, у которого больше модуль)." - Это был не вопрос. Я к тому, что мы можем свободно конвертировать a в a + 0i и b в b + 0i. Так вот эти числа должны сравниваться так же, как a и b.

(13 Май '12 11:33) Никита Башаев
показано 5 из 12 показать еще 7
10|600 символов нужно символов осталось
0

Допускаю, что для автора вопроса о "сравнении комплексных чисел", а также других лиц могут быть полезны следующие сведения:

$%\forall z_1 \forall z_2 (\{z_1, z_2\} \subseteq \mathbb{C} \leftrightarrow \exists x_1 \exists y_1 \exists x_2 \exists y_2 (\{x_1, x_2, y_1, y_2\} \subseteq \mathbb{R} \wedge \begin {cases}z_1 = \langle x_1, y_1 \rangle \wedge z_2 = \langle x_2, y_2 \rangle \\ z_1 + z_2 = \langle x_1 + x_2, \ y_1 + y_2\rangle \\ \ z_1 \cdot z_2 \ = \langle x_1 \cdot x_2 - y_1 \cdot y_2, \ x_1 \cdot y_2 + y_1 \cdot x_2 \rangle \end {cases}))$%

$%\forall z_1 \forall z_2 (\{z_1, z_2\} \subseteq \mathbb{C} \leftrightarrow \exists x_1 \exists y_1 \exists x_2 \exists y_2 (\{x_1, x_2, y_1, y_2\} \subseteq \mathbb{R} \wedge \begin {cases}z_1 = \begin {bmatrix} x_1 & y_1 \\ -y_1 & x_1 \end {bmatrix} \wedge z_2 = \begin {bmatrix} x_2 & y_2 \\ -y_2 & x_2 \end {bmatrix} \\ z_1 + z_2 = \begin {bmatrix} x_1 & y_1 \\ -y_1 & x_1 \end {bmatrix} + \begin {bmatrix} x_2 & y_2 \\ -y_2 & x_2 \end {bmatrix} \\ \ z_1 \cdot z_2 \ = \begin {bmatrix} x_1 & y_1 \\ -y_1 & x_1 \end {bmatrix} \cdot \begin {bmatrix} x_2 & y_2 \\ -y_2 & x_2 \end {bmatrix}\end {cases}))$%

ссылка

отвечен 12 Май '12 13:15

изменен 12 Май '12 16:37

Вряд ли будут полезны. Мы и так это знаем и к делу это не относится. Потому что сравнение фактически требуется построить для точек плоскости, так что алгебраические свойства здесь мало помогут.

Займитесь, к конце концов, более полезным делом!

(12 Май '12 13:19) DocentI

Принял к сведению, что Вы и вы "фактически" "строили" "сравнение" "для точек плоскости", но не "строили" "сравнение" для комплексных чисел.

(12 Май '12 16:41) Галактион

Автор ведь не сформулировал в вопросе какие-либо алгебраические свойства сравнения. Собственно, он вообще никаких требований не выдвигал, разве что выплыло то, что сужение порядка с C на R должно совпадать с обычным понятием "меньше".

Вот если у Вас есть какие-нибудь предложения о придании порядку на C алгебраических свойств - опубликуйте их, это было бы интересно.

(13 Май '12 1:20) DocentI
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×355

задан
7 Май '12 13:01

показан
7443 раза

обновлен
13 Май '12 14:18

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru