комплексные-числа - Сравнение комплексных чисел

Вот, например, простой способ упорядочивания комплексных чисел: будем считать, что $%z_1>z_2$%, если $%|z_1|>|z_2|$%. Если же модули чисел равны, т.е. $%|z_1|=|z_2|$%, то будем считать большим то число, у которого больше аргумент. Но для любого математического построения важна конструктивность: где и как такое сравнение можно использовать?

Ответ на комментарий (для Никиты Башаева). Вашу последнюю реплику я не совсем понял, но про "пару действительных чисел" постараюсь пояснить. Действительное число эквивалентно точке прямой, а комплексное число - точке плоскости, т.е. упорядоченной паре действительных чисел (координат точки). Но координаты можно вводить разными способами. Конечно, самая распространенная система координат - декартова прямоугольная, в ней точка $%z$% задается как пара действительных чисел $%(a,b)$%, где $%a=Re(z),b=Im(z))$%- действительная и мнимая части комплексного числа $%z$%. Но можно использовать и полярную систему координат, в этом случае точка $%z$% ,будет задаваться как другая пара действительных чисел $%(\rho,\phi)$%, где $%\rho=|z|,\phi=arg(z))$% - модуль и аргумент. А можно это сделать с помощью эллиптических, параболических или косоугольных координат. И вообще, существует бесконечно много возможных представлений комплексного числа в виде упорядоченной пары двух действительных чисел. Любое множество таких пар равномощно множеству действительных чисел, поэтому всегда можно построить взаимно-однозначное соответствие между этими множествами и, таким образом, упорядочить множество комплексных чисел (т.к. множество действительных чисел является вполне упорядоченным), и это можно сделать бесконечным числом способов. Один способ из этого бесконечного множества способов я предложил. Но вопрос о смысле и полезности такого упорядочивания остается открытым.

Дополнение (для Никиты Башаева)

1) Да, действительные числа при "спиральном упорядочивании" будут сравниваться по модулю (больше то, у которого больше модуль).

2) Число и точка - два базовых понятия математики, между ними всегда стараются установить взаимно-однозначное соответствие, чтобы свести эти 2 понятия к одному. Обычно такое соответствие устанавливается естественным образом.

3) Для $%R$% и $%C$% следует использовать не знак принадлежности, а знак подмножества.

Ответ на комментарий. И я о том же. При таком способе упорядочивания условие $% a_1+i \cdot 0 \lt a_2+i \cdot 0$% эквивалентно условию $% |a_1| \lt |a_2| $%

Допускаю, что для автора вопроса о "сравнении комплексных чисел", а также других лиц могут быть полезны следующие сведения:

$%\forall z_1 \forall z_2 (\{z_1, z_2\} \subseteq \mathbb{C} \leftrightarrow \exists x_1 \exists y_1 \exists x_2 \exists y_2 (\{x_1, x_2, y_1, y_2\} \subseteq \mathbb{R} \wedge \begin {cases}z_1 = \langle x_1, y_1 \rangle \wedge z_2 = \langle x_2, y_2 \rangle \\ z_1 + z_2 = \langle x_1 + x_2, \ y_1 + y_2\rangle \\ \ z_1 \cdot z_2 \ = \langle x_1 \cdot x_2 - y_1 \cdot y_2, \ x_1 \cdot y_2 + y_1 \cdot x_2 \rangle \end {cases}))$%

$%\forall z_1 \forall z_2 (\{z_1, z_2\} \subseteq \mathbb{C} \leftrightarrow \exists x_1 \exists y_1 \exists x_2 \exists y_2 (\{x_1, x_2, y_1, y_2\} \subseteq \mathbb{R} \wedge \begin {cases}z_1 = \begin {bmatrix} x_1 & y_1 \\ -y_1 & x_1 \end {bmatrix} \wedge z_2 = \begin {bmatrix} x_2 & y_2 \\ -y_2 & x_2 \end {bmatrix} \\ z_1 + z_2 = \begin {bmatrix} x_1 & y_1 \\ -y_1 & x_1 \end {bmatrix} + \begin {bmatrix} x_2 & y_2 \\ -y_2 & x_2 \end {bmatrix} \\ \ z_1 \cdot z_2 \ = \begin {bmatrix} x_1 & y_1 \\ -y_1 & x_1 \end {bmatrix} \cdot \begin {bmatrix} x_2 & y_2 \\ -y_2 & x_2 \end {bmatrix}\end {cases}))$%