|
Помогите доказать существование предела через критерий Коши: $$ \frac{1}{1 \ast 2} - \frac{1}{2 \ast 3} + . . . + \frac{(-1) ^{n-1} }{n(n+1)} $$ задан 14 Дек '14 19:10 
vlad_ivanov |
|
Положим $%S_n=\frac1{1\cdot2}-\frac1{2\cdot3}+\cdots+\frac{(-1)^{n-1}}{n(n+1)}$%. Пусть $%m > n$%; тогда $%|S_m-S_n|=|\frac1{(n+1)(n+2)}-\frac1{(n+2)(n+3)+\cdots}|$%. Для убывающей последовательности $%a_n$% с положительными членами выполнено неравенство $%0 < a_n-a_{n+1}+a_{n+2}-a_{n+3}+\cdots < a_n$%. Из этого следует, что $%|S_m-S_n| < \frac1{(n+1)(n+2)} < \frac1{n^2} < \varepsilon$% при $%m > n\ge N$%, где $%N > 1/\sqrt{\varepsilon}$% -- натуральное число. Тогда по критерию Коши имеет место сходимость последовательности $%S_n$%. отвечен 14 Дек '14 19:21 
falcao @falcao: спасибо за решение, но подскажите пожалуйста, как получилось равенство во второй строчке (sm-sn...)
(14 Дек '14 19:52)
vlad_ivanov
@vlad_ivanov: там сократилась одинаковая часть в начале. Это общий факт, верный для любых частичных сумм: $%S_m-S_n=(b_1+\cdots+b_n+b_{n+1}+\cdots+b_m)-(b_1+\cdots+b_n)$% равно $%b_{n+1}+\cdots+b_m$% при $%m > n$%.
(14 Дек '14 19:55)
falcao
@falcao: спасибо
(14 Дек '14 19:58)
vlad_ivanov
|