Помогите доказать существование предела через критерий Коши: $$ \frac{1}{1 \ast 2} - \frac{1}{2 \ast 3} + . . . + \frac{(-1) ^{n-1} }{n(n+1)} $$

задан 14 Дек '14 19:10

10|600 символов нужно символов осталось
0

Положим $%S_n=\frac1{1\cdot2}-\frac1{2\cdot3}+\cdots+\frac{(-1)^{n-1}}{n(n+1)}$%. Пусть $%m > n$%; тогда $%|S_m-S_n|=|\frac1{(n+1)(n+2)}-\frac1{(n+2)(n+3)+\cdots}|$%. Для убывающей последовательности $%a_n$% с положительными членами выполнено неравенство $%0 < a_n-a_{n+1}+a_{n+2}-a_{n+3}+\cdots < a_n$%. Из этого следует, что $%|S_m-S_n| < \frac1{(n+1)(n+2)} < \frac1{n^2} < \varepsilon$% при $%m > n\ge N$%, где $%N > 1/\sqrt{\varepsilon}$% -- натуральное число. Тогда по критерию Коши имеет место сходимость последовательности $%S_n$%.

ссылка

отвечен 14 Дек '14 19:21

@falcao: спасибо за решение, но подскажите пожалуйста, как получилось равенство во второй строчке (sm-sn...)

(14 Дек '14 19:52) vlad_ivanov

@vlad_ivanov: там сократилась одинаковая часть в начале. Это общий факт, верный для любых частичных сумм: $%S_m-S_n=(b_1+\cdots+b_n+b_{n+1}+\cdots+b_m)-(b_1+\cdots+b_n)$% равно $%b_{n+1}+\cdots+b_m$% при $%m > n$%.

(14 Дек '14 19:55) falcao

@falcao: спасибо

(14 Дек '14 19:58) vlad_ivanov
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,212
×691
×295
×142

задан
14 Дек '14 19:10

показан
467 раз

обновлен
14 Дек '14 19:58

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru