Как находить сумму степенного ряда? Например, для этого ряда:

$$S=\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} \cdot n^2\cdot x^n$$

задан 14 Дек '14 19:32

изменен 14 Дек '14 20:23

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

Разделите на $%x$% и проинтегрируйте, снова разделите на $%x$% и проинтегрируйте, разделите на $%x^2$% и проинтегрируйте. У Вас останется геометрическая прогрессия.

(14 Дек '14 19:55) EdwardTurJ
10|600 символов нужно символов осталось
0

Ряд имеет вид $%S(x)=x-4x^2+9x^3-16x^2+\cdots$%. Разделим его на $%x$% и почленно проинтегрируем. Получится $%x-2x^2+3x^3-4x^4+\cdots$%. Ещё раз проделаем то же самое, то есть разделим на $%x$% и проинтегрируем. Это даст $%x-x^2+x^3-x^4+\cdots=\frac{x}{1+x}$%. теперь сделаем всё в обратную сторону, то есть продифференцируем, домножим на $%x$%, и далее повторим оба действия. Сначала это даст $%\frac{x}{(1+x)^2}$%, и после второго применения тех же операций будет $%S(x)=\frac{x(1-x)}{(1+x)^3}$%.

Возможность почленного интегрирования и дифференцирования на интервале сходимости обосновывается в теории степенных рядов.

ссылка

отвечен 14 Дек '14 19:52

10|600 символов нужно символов осталось
0

Пусть $$S(x)=-\sum\limits_{n=1}^{\infty}{(-x)^n}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}{(-1)^{n-1} x^n}.$$ Заметим, что $%S(x)$% явлется суммой бесконечной геометрической прогрессии, и $$S(x)=\dfrac{-x}{1+x}=-1+\dfrac{1}{1+x}.$$ Тогда $$S'(x)=\dfrac{d}{dx}\sum\limits_{n=1}^{\infty}{(-1)^{n-1} x^n}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}{(-1)^{n-1} n x^{n-1}}= \dfrac{d}{dx}{\left(-1+\dfrac{1}{1+x} \right)}.$$ Умножим последнее равенство на $%x$% и продифференцируем ещё раз: $$xS'(x)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}{(-1)^{n-1} n x^{n}}, \\ \dfrac{d}{dx}(xS'(x))=\sum\limits_{n=1}^{\infty}{(-1)^{n-1} n^2 x^{n-1}}.$$

ссылка

отвечен 14 Дек '14 19:51

что значит "пусть"? Какие действия производятся?

(20 Дек '14 14:07) Ni55an

@Ni55an: слово "пусть" в данном случае означает, что через S(x) обозначено то выражение, которое дано в условии. Это примерно как если бы в какой-то другой задаче было сказано "пусть a=5". Это всегда можно делать, если используемая буква ни подо что не была занята.

(20 Дек '14 14:56) falcao

откуда это (-x)^n взялось?

(20 Дек '14 15:43) Ni55an

@Ni55an: по свойству степеней, $%(-x)^n=(-1)^nx^n$%. Если поставить дополнительный знак минус, который там впереди имеется, то получится $%(-1)^{n-1}x^n$%, как в тексте вопроса.

(20 Дек '14 19:17) falcao

там вообще-то еще n^2

(20 Дек '14 19:31) Ni55an

@Ni55an: да, это так. Но там сначала рассматривается вспомогательная функция $%S(x)$%, похожая на ту, что в условии, а потом из неё путём дифференцирований и домножений в конце получается та функция, которая была в условии.

(20 Дек '14 20:40) falcao
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×627

задан
14 Дек '14 19:32

показан
2218 раз

обновлен
20 Дек '14 20:40

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru