|
Как находить сумму степенного ряда? Например, для этого ряда: $$S=\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} \cdot n^2\cdot x^n$$ задан 14 Дек '14 19:32 
Ni55an |
|
Ряд имеет вид $%S(x)=x-4x^2+9x^3-16x^2+\cdots$%. Разделим его на $%x$% и почленно проинтегрируем. Получится $%x-2x^2+3x^3-4x^4+\cdots$%. Ещё раз проделаем то же самое, то есть разделим на $%x$% и проинтегрируем. Это даст $%x-x^2+x^3-x^4+\cdots=\frac{x}{1+x}$%. теперь сделаем всё в обратную сторону, то есть продифференцируем, домножим на $%x$%, и далее повторим оба действия. Сначала это даст $%\frac{x}{(1+x)^2}$%, и после второго применения тех же операций будет $%S(x)=\frac{x(1-x)}{(1+x)^3}$%. Возможность почленного интегрирования и дифференцирования на интервале сходимости обосновывается в теории степенных рядов. отвечен 14 Дек '14 19:52 
falcao |
|
Пусть
$$S(x)=-\sum\limits_{n=1}^{\infty}{(-x)^n}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}{(-1)^{n-1} x^n}.$$
Заметим, что $%S(x)$% явлется суммой бесконечной геометрической прогрессии, и
$$S(x)=\dfrac{-x}{1+x}=-1+\dfrac{1}{1+x}.$$
Тогда
$$S'(x)=\dfrac{d}{dx}\sum\limits_{n=1}^{\infty}{(-1)^{n-1} x^n}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}{(-1)^{n-1} n x^{n-1}}= \dfrac{d}{dx}{\left(-1+\dfrac{1}{1+x} \right)}.$$
Умножим последнее равенство на $%x$% и продифференцируем ещё раз:
$$xS'(x)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}{(-1)^{n-1} n x^{n}}, \\
\dfrac{d}{dx}(xS'(x))=\sum\limits_{n=1}^{\infty}{(-1)^{n-1} n^2 x^{n-1}}.$$ отвечен 14 Дек '14 19:51 
Mather что значит "пусть"? Какие действия производятся?
(20 Дек '14 14:07)
Ni55an
@Ni55an: слово "пусть" в данном случае означает, что через S(x) обозначено то выражение, которое дано в условии. Это примерно как если бы в какой-то другой задаче было сказано "пусть a=5". Это всегда можно делать, если используемая буква ни подо что не была занята.
(20 Дек '14 14:56)
falcao
откуда это (-x)^n взялось?
(20 Дек '14 15:43)
Ni55an
@Ni55an: по свойству степеней, $%(-x)^n=(-1)^nx^n$%. Если поставить дополнительный знак минус, который там впереди имеется, то получится $%(-1)^{n-1}x^n$%, как в тексте вопроса.
(20 Дек '14 19:17)
falcao
там вообще-то еще n^2
(20 Дек '14 19:31)
Ni55an
показано 5 из 6
показать еще 1
|
Разделите на $%x$% и проинтегрируйте, снова разделите на $%x$% и проинтегрируйте, разделите на $%x^2$% и проинтегрируйте. У Вас останется геометрическая прогрессия.