$%x^2 + y^2 + z^2 = a^2, (z>=0)$%, плотность которой $%M(x,y,z) = z/a$%.

задан 9 Май '12 0:51

изменен 9 Май '12 11:06

%D0%A5%D1%8D%D1%88%D0%9A%D0%BE%D0%B4's gravatar image


5525

Полусферы или полушара? И в чем, собственно, проблема?

(9 Май '12 1:22) Андрей Юрьевич

Полусферы, я просто запуталась и ничего у меня не получается...

(9 Май '12 1:40) nichego_lich...
10|600 символов нужно символов осталось
2

Для вычисления массы можно использовать поверхностный интеграл 1 рода. $$ M=\iint {\frac{z}{a}dS}.$$ Для параметризации используем сферические координаты, т.е. $$ x=a \cos\varphi \sin\theta ,y=a \sin\varphi \sin\theta, z=a \cos\theta $$ $$ 0\le \varphi\le 2\pi, 0\le \theta\le \frac{\pi}{2} $$ В этом случае $%dS = a^2\sin\theta$%. Можно вычислить, например, по формуле $%dS=\sqrt{EG-F^2}$%.
Имеем $$ M=\iint {cos\theta a^2\sin\theta d\varphi d\theta}=a^2\int_0^{2\pi}d\varphi \int_0^{\pi/2} \sin\theta\cos\theta d\theta$$
Он легко считается.

ссылка

отвечен 9 Май '12 12:29

Я думаю, автор все-таки ошибается с условием, у нее не полусфера, полушар.

(9 Май '12 15:23) Андрей Юрьевич

Уважаемая @DocentI ,как вы думаете, почему при некоторых значениях а, масса полушара меньше чем масса полусферы?.

(9 Май '12 22:15) ASailyan
2

Хотя вопрос адресован не мне, отвечу. Что такое "масса шара (или полушара)" в данном контексте понятно, а вот что такое "масса сферы (или полусферы)" - не очень. Если это математическая сфера (бесконечно тонкая оболочка шара), то для того, чтобы иметь конечную массу, она должна иметь бесконечную локальную плотность, т.к. масса - это интеграл от плотности по объему.

(9 Май '12 22:42) Андрей Юрьевич

Спасибо.Но все таки не понятно. Ведь существуют математические понятия "масса оболочки", плотность. Значит это обыкновенная масса.Ведь эти методы вычисления наверное используют в жизни.Но получилось противоречие.

(9 Май '12 23:07) ASailyan
1

Само то, что плотность задается величиной $%z/a$% странно, так как нарушен принцип размерности. Т.е. если a, вычисляется в метрах, то плотность - безразмерна. Хотя она должна бы была измеряться в кг/м^2 метрах. А для шара - в кг/м^3.
Эти две массы нельзя сравнивать, т.к. они в разных единицах измерения.

Плотность в этих задачах - разная: на единицу площади или на единицу объема.

(9 Май '12 23:19) DocentI

@Андрей Юрьевич, бывает же разная плотность, даже линейная (на единицу длины, например, проволоки)

(9 Май '12 23:21) DocentI

Спасибо.Все ясно.

(9 Май '12 23:45) ASailyan

Конечно, можно ввести поверхностную плотность (скажем, для тонкой металлической оболочки). Но тогда она должна быть функцией точки поверхности (т.е. в данном случае - функцией сферических углов). Что означает поверхностная плоскость как функция от $%z$% - непонятно.

(9 Май '12 23:59) Андрей Юрьевич

Ну и что? z тоже можно найти для точек поверхности. В конце концов это только задачка.

(10 Май '12 0:01) DocentI

Для @DocentI. Конечно, можно все выразить, но обычно задачи так не ставятся. Что такое "поверхностная плотность" сферы как функция $%z$%? Это масса кольца радиуса $%\sqrt{R^2-z^2} $% и высоты $%dz$%. Но ведь само такое кольцо наклонено к оси $%z$%, угол наклона меняется от 0 до 90 градусов, соответственно меняется и его ширина. Поэтом какую-то разумную физическую интерпретацию для такой постановки задачи трудно придумать.

(10 Май '12 2:00) Андрей Юрьевич

Насчет физической интерпретации согласна, это просто задачка на поверхностный интеграл. Насчет кольца - нет. А если плотность равна константе, она тоже должна быть задана через углы? Просто для всех точек, находящихся на одной высоте, плотность одинакова.
$%z/a$% - это плотность маленького кусочка поверхности, содержащего в себе точку (x, y, z), и наклоненного, разумеется, "вдоль" поверхности. Поэтому в интеграле стоит dS.

(10 Май '12 8:31) DocentI

Следует обратить внимание на то, что при некоторых значениях а масса полушара меньше массы полусферы! Где-то неправильный подход в решении данной задачи. Плотность может быть трех видов: линейная, поверхностная, объемная. Т.е, если одна из них используется для нахождения массы некоторой поверхности, то она не может быть использована для нахождения объема тела ограниченного, например, этой поверхностью.

(10 Май '12 18:12) Anatoliy
показано 5 из 12 показать еще 7
10|600 символов нужно символов осталось
2

Масса полушара alt text

Масса полусферы alt text

ссылка

отвечен 9 Май '12 19:58

изменен 10 Май '12 10:37

10|600 символов нужно символов осталось
1

1)Если автор утверждает, что нужен масса полусферы, то : $$ M=\iint {\frac{z}{a}dS}.$$ Здесь $$ z=\sqrt{a^2-x^2-y^2}$$ $$ dS=\sqrt{1+(\frac{dz}{dx})^2+(\frac{dz}{dy})^2}dxdy=\frac{a}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}}dxdy.$$Eсли перейти к полярным координатам,то $$ M=\iint dxdy=\int_0^{a}\rho d\rho \int_0^{2\pi}d\varphi=\pi a^2$$

2)Если масса полушара,то Формула вычисления массы $$ M=\iiint {\frac{z}{a}dxdydz}.$$ Удобно вычислить в сферических координатах: $$ x=\rho cos\varphi sin\theta ,y=\rho sin\varphi sin\theta, z=\rho cos\theta $$ $$ 0\le \rho\le a, 0\le \varphi\le 2\pi, 0\le \theta\le \frac{\pi}{2} $$ Учитывая якобиан $%\rho^2 sin\theta $%, записываем интеграл в виде $$ M=\iiint {\frac{\rho^3 cos\theta sin\theta}{a}d\varphi d\rho d\theta}=\frac{1}{2a}\int_0^{2\pi}d\varphi \int_0^{a}\rho^3 d\rho \int_0^{\pi/2}sin2\theta d\theta=\frac{\pi a^3}{4}$$

ссылка

отвечен 9 Май '12 2:25

изменен 9 Май '12 20:57

А где якобиан? На сфере $%\rho=const$% По-моему, Вы считаете для полушара. Но якобиан все равно нужен.

(9 Май '12 12:17) DocentI
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×601
×315

задан
9 Май '12 0:51

показан
3860 раз

обновлен
10 Май '12 18:12

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru