Прошу вашей помощи с исследованием интегралов.

1)Исследовать на абсолютную и условную сходимость $%\int_0^{+\infty} x^2 \sin(\frac{\cos(x^3)}{x+1}) {dx}$%

2)Найти все значения $%a$%, при которых интеграл сходится $%\int_0^{+\infty} \frac{\arctan(x)}{(1+x^2)(e^x-1)^a} {dx}$%

Заранее благодарю за помощь

задан 14 Дек '14 23:48

10|600 символов нужно символов осталось
0

Интеграл $$ \int\limits_0^{+\infty} {x^2 \sin\left(\frac{\cos{x^3}}{x+1}\right) {dx}} $$ расходится. Для этого достаточно показать, что не выполняется критерий Коши сходимости несобственного интеграла. Запишем отрицание условия Коши: $$ (\exists \varepsilon>0)\colon\;(\forall \eta>0)\; (\exists \eta_1>\eta)\wedge (\exists \eta_2>\eta)\colon\;\; \left\vert \int\limits_{\eta_1}^{\eta_2} {f(x) dx} \right\vert \geqslant \varepsilon. $$ Пусть $%\eta_1=2\pi n -\frac{\pi}{3},\ \eta_2=2\pi n +\frac{\pi}{3}.$% Тогда для $%\eta_1\leqslant x \leqslant \eta_2$% выполняется неравенство $%\cos{x^3} \geqslant \frac{1}{2}, $% поэтому $$\frac{\cos{x^3}}{x+1}\geqslant \frac{1}{2(\eta_2+1)} .$$ Используя известное неравенство $%\sin{x} \geqslant \frac{2}{\pi}x,$% которое справедливо для всех $% x \in \left[0,\ \frac{\pi}{2}\right], $% получаем $$\sin{\left(\frac{\cos{x^3}}{x+1}\right)}\geqslant \frac{1}{\pi(\eta_2+1)},$$ следовательно, $$\int\limits_{\eta_1}^{\eta_2} {x^2 \sin\left(\frac{\cos{x^3}}{x+1}\right) {dx}} \geqslant \frac{1}{\pi(\eta_2+1)}\int\limits_{\eta_1}^{\eta_2} {x^2 dx} = \frac{1}{\pi(\eta_2+1)}\cdot \frac{\eta_2^3-\eta_1^3}{3} $$ Заметим, что $%{\eta_2^3-\eta_1^3}=(\eta_2-\eta_1)(\eta_2^2+\eta_1\eta_2+\eta_1^2)>\frac{2\pi}{3}\cdot 3\eta_1^2 ={2\pi}{\eta_1^2}.$% Поэтому $$\frac{1}{\pi(\eta_2+1)}\cdot \frac{\eta_2^3-\eta_1^3}{3} > \frac{2\eta_1^2}{3(\eta_2+1)} \underset{n\to\infty}\to +\infty ,$$ значит, $$\int\limits_{\eta_1}^{\eta_2} {x^2 \sin\left(\frac{\cos{x^3}}{x+1}\right) {dx}}\underset{n\to\infty}\to +\infty .$$

ссылка

отвечен 17 Дек '14 1:02

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,150
×236
×104

задан
14 Дек '14 23:48

показан
773 раза

обновлен
17 Дек '14 1:02

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru