алгебра - Исследование кусочной функции на монотонность и экстремумы

Предполагаю, что часть результатов ASailyan можно изложить следующим образом:

$%\forall x (x \in \mathbb{R} \rightarrow (x < 0 \rightarrow f(x) = x^3 - 3x) \wedge (0 \leq x \leq \pi \rightarrow f(x) = \sin(x)))$%

$%\Rightarrow \begin {cases} \begin {cases} \begin {cases} \forall x_1 \forall x_2 (\{x_1, x_2\} \subseteq (- \infty, -1] \wedge x_1 < x_2 \rightarrow f(x_1) < f(x_2)) \\ \forall x_1 \forall x_2 (\{x_1, x_2\} \subseteq [0, \frac{\pi}{2}] \wedge x_1 < x_2 \rightarrow f(x_1) < f(x_2)) \end {cases} \\ \begin {cases} \forall x_1 \forall x_2 (\{x_1, x_2\} \subseteq [-1, 0] \wedge x_1 < x_2 \rightarrow f(x_1) > f(x_2)) \\ \forall x_1 \forall x_2 (\{x_1, x_2\} \subseteq [\frac{\pi}{2}, \pi] \wedge x_1 < x_2 \rightarrow f(x_1) > f(x_2)) \end {cases} \end {cases} \\ \begin {cases} \begin {cases} \forall x (x \in \{-1, \frac{\pi}{2}\} \rightarrow \exists \varepsilon (\varepsilon \in (0, \infty) \wedge \forall z (z \in (x - \varepsilon, x + \varepsilon) \setminus \{x\} \rightarrow f(x) > f(z)))) \\ \exists \varepsilon (\varepsilon \in (0, \infty) \wedge \forall z (z \in (- \varepsilon, \varepsilon) \setminus \{0\} \rightarrow f(0) < f(z))) \end {cases} \\ f(-1) = 2 \wedge f(0) = 0 \wedge f(\frac{\pi}{2}) = 1 \end {cases} \end {cases}$%

Если воспользоваться ограниченными кванторами, тогда предыдущее высказывание можно изложить следующим образом:

$%\forall_{x \ \in \ \mathbb{R}} ((x < 0 \rightarrow f(x) = x^3 - 3x) \wedge (0 \leq x \leq \pi \rightarrow f(x) = \sin(x)))$%

$%\Rightarrow \begin {cases} \begin {cases} \forall_{\{x_1, x_2\} \ \subseteq \ (- \infty, -1] \ \wedge \ x_1 \ < \ x_2} (f(x_1) < f(x_2)) \ \wedge \ \forall_{\{x_1, x_2\} \ \subseteq \ [0, \frac{\pi}{2}] \ \wedge \ x_1 \ < \ x_2} (f(x_1) < f(x_2)) \\ \forall_{\{x_1, x_2\} \ \subseteq \ [-1, 0] \ \wedge \ x_1 \ < \ x_2} (f(x_1) > f(x_2)) \ \ \ \ \wedge \ \forall_{\{x_1, x_2\} \ \subseteq \ [\frac{\pi}{2}, \pi] \ \wedge \ x_1 \ < \ x_2} (f(x_1) > f(x_2)) \end {cases} \\ \begin {cases} \forall_{x \in \{-1, \frac{\pi}{2}\}} \exists_{\varepsilon \in (0, \infty)} \forall_{z \in (x - \varepsilon, x + \varepsilon) \setminus \{x\}} (f(x) > f(z)) \wedge \exists_{\varepsilon \in (0, \infty)} \forall_{z \in (- \varepsilon, \varepsilon) \setminus \{0\}} (f(0) < f(z)) \\ f(-1) = 2 \wedge f(0) = 0 \wedge f(\frac{\pi}{2}) = 1 \end {cases} \end {cases}$%

Принимая во внимание вышеизложенное и высказывание «$% \forall x (x \in \{- \sqrt{3}, 0, \pi\} \rightarrow f(x) = 0)$%», можно построить обратные функции к функции $%\{\langle x,y \rangle \in (- \infty, \pi] \times (- \infty, 2]| \ y = f(x)\}$%:

$% \begin {cases} \forall x \forall y (x \in (- \infty, 2] \wedge y \in (- \infty, -1] \rightarrow (y = f_1^{-\mathrm{I}} (x) \leftrightarrow x = f(y) = y^3 - 3y)) \\ \forall x \forall y (x \in (0, 2] \wedge y \in [-1, 0) \rightarrow (y = f_2^{-\mathrm{I}} (x) \leftrightarrow x = f(y) = y^3 - 3y)) \\ \forall x \forall y (x \in [0, 1] \wedge y \in [0, \frac{\pi}{2}] \rightarrow (y = f_3^{-\mathrm{I}} (x) \leftrightarrow x = f(y) = \sin(y))) \\ \forall x \forall y (x \in [0, 1] \wedge y \in [\frac{\pi}{2}, \pi] \rightarrow (y = f_4^{-\mathrm{I}} (x) \leftrightarrow x = f(y) = \sin(y))) \end {cases}$%

Если воспользоваться ограниченными кванторами, тогда предыдущее высказывание можно изложить следующим образом:

$% \begin {cases} \forall_{\langle x, y \rangle \in (- \infty, 2] \times (- \infty, -1]} (y = f_1^{-\mathrm{I}} (x) \leftrightarrow x = y^3 - 3y) \wedge \forall_{\langle x, y \rangle \in (0, 2] \times [-1, 0)} (y = f_2^{-\mathrm{I}} (x) \leftrightarrow x = y^3 - 3y) \\ \forall_{\langle x, y \rangle \in [0, 1] \times [0, \frac{\pi}{2}]} (y = f_3^{-\mathrm{I}} (x) \leftrightarrow x = \sin(y)) \wedge \forall_{\langle x, y \rangle \in [0, 1] \times [\frac{\pi}{2}, \pi]} (y = f_4^{-\mathrm{I}} (x) \leftrightarrow x = \sin(y)) \end {cases}$%