Как исследовать функцию на монотонность и экстремумы $%x^3-3x, x<0$%; $%sinx, 0<=x<=\pi$%?

задан 9 Май '12 16:31

изменен 10 Май '12 12:50

%D0%A5%D1%8D%D1%88%D0%9A%D0%BE%D0%B4's gravatar image


5525

10|600 символов нужно символов осталось
1

$% y^'=3x^2-3 $%, при $% x<0 $% и $%y^'=cosx $%, при $% 0\le x\le\pi $%
$% y^'>0 $%, при $% x\in(\infty;-1)\cup(0;\pi/2)$%.Значит Функция возрастает в промежутках $% (\infty;-1]$% и $% [0;\pi/2)$% $% y^'<0 $%, при $% x\in(-1;0)\cup(\pi/2;\pi)$%.Значит Функция убывает в промежутках $% [-1;0]$% и $% [\pi/2;\pi]$%

В точке x=0, функция непрерывна, но не имеет производную .

Стационарные точки $% x=0, x=-1, x=\pi/2$%.

А точки экстремума и экстремумы $% x_{max}=-1, y_{max}=2, x_{min}=0, y_{min}=0, x_{max}=\pi/2, y_{max}=1$%

alt text

ссылка

отвечен 9 Май '12 17:24

изменен 9 Май '12 17:26

10|600 символов нужно символов осталось
0

Предполагаю, что часть результатов ASailyan можно изложить следующим образом:

$%\forall x (x \in \mathbb{R} \rightarrow (x < 0 \rightarrow f(x) = x^3 - 3x) \wedge (0 \leq x \leq \pi \rightarrow f(x) = \sin(x)))$%

$%\Rightarrow \begin {cases} \begin {cases} \begin {cases} \forall x_1 \forall x_2 (\{x_1, x_2\} \subseteq (- \infty, -1] \wedge x_1 < x_2 \rightarrow f(x_1) < f(x_2)) \\ \forall x_1 \forall x_2 (\{x_1, x_2\} \subseteq [0, \frac{\pi}{2}] \wedge x_1 < x_2 \rightarrow f(x_1) < f(x_2)) \end {cases} \\ \begin {cases} \forall x_1 \forall x_2 (\{x_1, x_2\} \subseteq [-1, 0] \wedge x_1 < x_2 \rightarrow f(x_1) > f(x_2)) \\ \forall x_1 \forall x_2 (\{x_1, x_2\} \subseteq [\frac{\pi}{2}, \pi] \wedge x_1 < x_2 \rightarrow f(x_1) > f(x_2)) \end {cases} \end {cases} \\ \begin {cases} \begin {cases} \forall x (x \in \{-1, \frac{\pi}{2}\} \rightarrow \exists \varepsilon (\varepsilon \in (0, \infty) \wedge \forall z (z \in (x - \varepsilon, x + \varepsilon) \setminus \{x\} \rightarrow f(x) > f(z)))) \\ \exists \varepsilon (\varepsilon \in (0, \infty) \wedge \forall z (z \in (- \varepsilon, \varepsilon) \setminus \{0\} \rightarrow f(0) < f(z))) \end {cases} \\ f(-1) = 2 \wedge f(0) = 0 \wedge f(\frac{\pi}{2}) = 1 \end {cases} \end {cases}$%

Если воспользоваться ограниченными кванторами, тогда предыдущее высказывание можно изложить следующим образом:

$%\forall_{x \ \in \ \mathbb{R}} ((x < 0 \rightarrow f(x) = x^3 - 3x) \wedge (0 \leq x \leq \pi \rightarrow f(x) = \sin(x)))$%

$%\Rightarrow \begin {cases} \begin {cases} \forall_{\{x_1, x_2\} \ \subseteq \ (- \infty, -1] \ \wedge \ x_1 \ < \ x_2} (f(x_1) < f(x_2)) \ \wedge \ \forall_{\{x_1, x_2\} \ \subseteq \ [0, \frac{\pi}{2}] \ \wedge \ x_1 \ < \ x_2} (f(x_1) < f(x_2)) \\ \forall_{\{x_1, x_2\} \ \subseteq \ [-1, 0] \ \wedge \ x_1 \ < \ x_2} (f(x_1) > f(x_2)) \ \ \ \ \wedge \ \forall_{\{x_1, x_2\} \ \subseteq \ [\frac{\pi}{2}, \pi] \ \wedge \ x_1 \ < \ x_2} (f(x_1) > f(x_2)) \end {cases} \\ \begin {cases} \forall_{x \in \{-1, \frac{\pi}{2}\}} \exists_{\varepsilon \in (0, \infty)} \forall_{z \in (x - \varepsilon, x + \varepsilon) \setminus \{x\}} (f(x) > f(z)) \wedge \exists_{\varepsilon \in (0, \infty)} \forall_{z \in (- \varepsilon, \varepsilon) \setminus \{0\}} (f(0) < f(z)) \\ f(-1) = 2 \wedge f(0) = 0 \wedge f(\frac{\pi}{2}) = 1 \end {cases} \end {cases}$%

Принимая во внимание вышеизложенное и высказывание «$% \forall x (x \in \{- \sqrt{3}, 0, \pi\} \rightarrow f(x) = 0)$%», можно построить обратные функции к функции $%\{\langle x,y \rangle \in (- \infty, \pi] \times (- \infty, 2]| \ y = f(x)\}$%:

$% \begin {cases} \forall x \forall y (x \in (- \infty, 2] \wedge y \in (- \infty, -1] \rightarrow (y = f_1^{-\mathrm{I}} (x) \leftrightarrow x = f(y) = y^3 - 3y)) \\ \forall x \forall y (x \in (0, 2] \wedge y \in [-1, 0) \rightarrow (y = f_2^{-\mathrm{I}} (x) \leftrightarrow x = f(y) = y^3 - 3y)) \\ \forall x \forall y (x \in [0, 1] \wedge y \in [0, \frac{\pi}{2}] \rightarrow (y = f_3^{-\mathrm{I}} (x) \leftrightarrow x = f(y) = \sin(y))) \\ \forall x \forall y (x \in [0, 1] \wedge y \in [\frac{\pi}{2}, \pi] \rightarrow (y = f_4^{-\mathrm{I}} (x) \leftrightarrow x = f(y) = \sin(y))) \end {cases}$%

Если воспользоваться ограниченными кванторами, тогда предыдущее высказывание можно изложить следующим образом:

$% \begin {cases} \forall_{\langle x, y \rangle \in (- \infty, 2] \times (- \infty, -1]} (y = f_1^{-\mathrm{I}} (x) \leftrightarrow x = y^3 - 3y) \wedge \forall_{\langle x, y \rangle \in (0, 2] \times [-1, 0)} (y = f_2^{-\mathrm{I}} (x) \leftrightarrow x = y^3 - 3y) \\ \forall_{\langle x, y \rangle \in [0, 1] \times [0, \frac{\pi}{2}]} (y = f_3^{-\mathrm{I}} (x) \leftrightarrow x = \sin(y)) \wedge \forall_{\langle x, y \rangle \in [0, 1] \times [\frac{\pi}{2}, \pi]} (y = f_4^{-\mathrm{I}} (x) \leftrightarrow x = \sin(y)) \end {cases}$%

ссылка

отвечен 10 Май '12 0:07

изменен 12 Май '12 10:20

Логичность и строгость, конечно, вещи хорошие. Но есть еще и вежливость по отношению к читателям. Такое читать совершенно не хочется.
Как Вы думаете, для кого Вы все это пишите? (кроме себя, любимого, разумеется...)

P.S. Слово "разумеется" относится к "себя", а не к "любимого". В последнем я, как честный исследователь, уверена быть не могу за неимением данных.

(10 Май '12 9:13) DocentI
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,705
×375

задан
9 Май '12 16:31

показан
4690 раз

обновлен
12 Май '12 10:20

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru