alt text

Переписал в таком виде:

alt text

А вот как дальше действовать не знаю. Помогите пожалуйста.

задан 17 Дек '14 18:39

Отлично, вот про -1/p понял (как-то так: (p-1)/2 = 2k и решаем). Для 2/p: получается решаем сравнение p^2 = 1 (mod 16). А вот на счет 3его не очень понятно. 4k+1 получили аналогично первому. 4k+3 получается также. Но вот для вычисления 3его символа Лежнадра получается, что вы используете p = 4k+3, почему? И на счет конечного ответа, не очень понял чему равен p? Числам 1 5 7 11 2 и 3?

(21 Дек '14 3:19) Andrew

@Andrew: то, о чём я говорю -- это свойства символов Лежандра, доказываемые в курсах теории чисел. Посмотрите формулировку закона взаимности Гаусса и сверьте с тем, что я здесь написал. Если после этого останутся вопросы, я отвечу.

Конечный ответ такой: простыми делителями чисел вида $%n^2+6$% могут быть 2, 3, а также простые числа, дающие при делении на 24 один из остатков 1, 5, 7, 11. Это полное описание.

(21 Дек '14 5:42) falcao

@falcao: Для 3его символа Лежандра: Применили квадратичный закон взаимности. Там есть (-1)^((p-1)/2)*((3-1)/2). Знак зависит от (p-1)/2. Будет плюс, если (p-1)/2 =2k выражаем p и получаем p=4k+1. Аналогично получаем p=4k+3. Я правильно рассуждаю? Если да, то вот дальше мне не очень понятно каким образом Вы вычисляете значения 1 и -1 для каждого из остатков в 3ем символе Лежандра (3/p). Можете показать на примере 7 и 11?

(21 Дек '14 20:04) Andrew

Если p=24k+7, то по закону взаимности меняется знак символа Л. при "переворачивании". Это значит, что (3/p)=-(p/3)=-(7/3)=-(1/3)=-1. Для p=24k+11 -- аналогично. Если использовать известные свойства, то всё должно получиться.

(21 Дек '14 20:20) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

Я так понимаю, что нужно описать разложение многочлена $%x^2+6$% на неприводимые сомножители над полем $%\mathbb Z_p$%. Этот многочлен приводим над данным полем тогда и только тогда, когда сравнение имеет решения, то есть символ Лежандра равен 1. Поскольку $%(\frac{-6}p)=(\frac{-1}p)(\frac2p)(\frac3p)$%, результат зависит от остатка, который даёт $%p$% при делении на 24. Остатки могут принимать значения 1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23. Для них сомножители принимают соответственно такие значения: $%(\frac{-1}p)=1,1,-1,-1,1,1,-1,-1$%; $%(\frac2p)=1,-1,1,-1,-1,1,-1,1$%; $%(\frac3p)=1,-1,-1,1,1,-1,-1,1$%. В итоге получается значение символа Лежандра 1 для первых четырёх вариантов. Описать их можно так: $%p=24k+r$%, где $%r\in\{1,5,7,11\}$%, то многочлен $%x^2+6$% приводим над $%\mathbb Z_p$%. Если $%p=24k+r$%, где $%r\in\{13,17,19,23\}$%, то многочлен $%x^2+6$% неприводим над $%\mathbb Z_p$%.

Явное описание, зависящее от $%p$%, здесь дать достаточно затруднительно. Единственное, что можно сказать -- это то, что при $%p$% из первой группы значений получатся многочлены вида $%x\pm x_0$%, где $%x$% -- решение сравнения.

Если же говорить не о полиномах, а о простых (в обычном смысле) делителей чисел вида $%x^2+6$%, где $%x$% натуральное, то это 2, а также все простые числа из первой группы.

ссылка

отвечен 17 Дек '14 19:33

Спасибо, но кое-что не понял. не очень понятно, что это означает: описать разложение многочлена x2+6 на неприводимые сомножители над полем Zp. И вот тут: многочлены вида x±x0, где x -- решение сравнения, а x0 это что?

(17 Дек '14 21:48) Andrew

@Andrew: у Вас в условии сказано было о простых делителях полинома. Я это понял так, что речь идёт о разложении многочленов на множители. Если имелось в виду, что делители находятся не у самого многочлена, а у его значений, то есть у чисел вида $%n^2+6$%, то все эти рассуждения о разложении многочленов на множители являются лишними.

(17 Дек '14 22:01) falcao

Еще не понятен 1 момент, "...который даёт p при делении на 24". Почему именно 24?

(18 Дек '14 14:15) Andrew

@Andrew: это следует из свойств символов Лежандра. Для -1 всё зависит от остатка по модулю 4, для 2 -- от остатка при делении на 8. Соответственно, для числа 3 -- по модулю 3. Итого получается период 24. Но это не надо отдельно доказывать, потому что из вычисления всё следует.

(18 Дек '14 14:56) falcao

"...остатки могут принимать значения 1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23" как я понял это просто все простые числа до 24? просто тут 3 нету... Или я не так понял откуда эти остатки?

(18 Дек '14 16:56) Andrew

@Andrew: остатки выписаны по принципу, что их может давать простое число при делении на 24. Конечно, случаи p=2 и p=3 тоже могут быть, но их надо рассмотреть отдельно. Оба они лёгкие, так как сводятся к случаю, когда $%x^2+6$% превращается просто в $%x^2$%.

(18 Дек '14 17:20) falcao

Что-то я туплю... Не очень понятно как в зависимости от остатка p на 24 получаются значения символов Лежандра? Не могли бы вы для одного из остатков (например 5) показать, как получается 1 или -1 для каждого из 3х символов Лежандра.

(21 Дек '14 0:43) Andrew

@Andrew: здесь надо знать сами свойства символов Лежандра, включая закон взаимности Гаусса. Прежде всего, $%(\frac{-1}p)=1$% означает, что $%p=4k+1$%. Для условия $%(\frac2p)=1$% подходят $%p=8k\pm1$%. Эти свойства совсем не очевидны, но они доказываются. Для числа 3 по закону взаимности будет $%(\frac3p)=(\frac{p}3)$% при $%p=4k+1$% и $%(\frac3p)=-(\frac{p}3)$% при $%p=4k+3$%. Остальные выводы делаются достаточно просто.

(21 Дек '14 1:01) falcao
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×58

задан
17 Дек '14 18:39

показан
1755 раз

обновлен
21 Дек '14 20:20

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru