Найдите наименьшее натуральное $%m$%, для которого существует такое натуральное $% n$%, что наборы последних $%2014$% цифр в десятичной записи чисел $%a = 2015^{3m+7}$% и $%b = 2015^{6n+2}$% одинаковы, причем $%a < b$%.

задан 17 Дек '14 20:59

изменен 18 Дек '14 11:39

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

10|600 символов нужно символов осталось
2

Число $%b-a=2015^{3m+7}(2015^{6n-3m-5}-1)$% оканчивается 2014 нулями, то есть делится на $%2^{2014}\cdot5^{2014}$%. Кратный пяти только первый сомножитель, поэтому $%3m+7\ge2014,m\ge669$%. Удостоверимся, что если $%m=669$%, то найдётся такое $%n$%, что число $%2015^{6n-3m-5}-1$% делится на $%2^{2014}$%. Достаточно положить $%6n-3m-5=2^{2014}$%. Тогда $%n=\frac{3m+5+2^{2014}}{6}=335+\frac{4^{1007}+2}{6}$% число целое, а $%2015^{2^{2014}}-1$% разлагается на 2015 чётных множителей.

ссылка

отвечен 17 Дек '14 21:19

изменен 17 Дек '14 22:27

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,771
×108

задан
17 Дек '14 20:59

показан
692 раза

обновлен
18 Дек '14 11:38

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru