В треугольнике $%ABC$% на сторонах $%AB$%, $%AC$% и $%BC$% взяты соответственно точки $%C_1$%, $%B_1$%, $%A_1$%, так что $%BA_1/A_1C = CB_1/B_1A = AC_1/C_1B = 1/2$%. Проведены отрезки $%AA_1$%, $%BB_1$%, $%CC_1$%. Требуется найти отношение площади образовавшегося внутреннего треугольника к площади треугольника $%ABC$%.

задан 18 Дек '14 0:54

изменен 18 Дек '14 22:16

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

@Wrecking_ball: Вы случайно не перепутали пропорции?

(18 Дек '14 1:05) EdwardTurJ

@EdwardTurJ точно, перепутал, исправил. Прошу прощения, сегодня я что-то рассеян.

(18 Дек '14 1:09) Wrecking_ball

Из решения этой задачи следует, что любой треугольник можно шестью прямыми разбить на такие части, из которых можно сложить 7 равных треугольничков.

(18 Дек '14 1:23) EdwardTurJ

@Wrecking_ball, Если вам дан исчерпывающий ответ, отметьте его как верный (нажмите на галку рядом с выбранным ответом).

(18 Дек '14 22:13) Виталина
1

@nicat: мне придётся здесь ответить, потому что для комментариев внизу уже не осталось места. Обычно теоремы Чевы и Ван-Обеля применяются вместе. Допустим, меня интересует отношение $%CC_2:C_2C_1$% на рисунке. Это пересечение двух чевиан, а третью надо мысленно добавить. Пусть это $%AA_3$%. Тогда я из теоремы Чевы знаю отношение $%AA_3:A_3B$%, и складываю его с $%CB_1:B_1A$%.

Я предлагаю этот вопрос детально более не обсуждать, потому что приёмы и методы должны быть понятны (формулировки обеих теорем известны). А обращение в N-й раз к рисункам с прослеживанием букв и чисел не особо интересно.

(7 Ноя '15 20:41) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
3

alt text

Пускай $$\frac{AC_1}{C_1B}=z,\frac{BA_1}{A_1C}=x,\frac{CB_1}{B_1A}=y.$$ Обозначим вершины образовавшегося внутреннего треугольника через $%A_2B_2C_2$%. Тогда $$S(\triangle CC_2B)=\frac{1}{z}S(\triangle CC_2A)=\frac{y+1}{yz}S(\triangle CC_2B_1)=$$ $$=\frac{y+1}{yz+y+1}S(\triangle CBB_1)=\frac{y}{yz+y+1}S(\triangle ABC).$$ Отсюда $$\frac{S(\triangle A_2B_2C_2)}{S(\triangle ABC)}=1-\frac{y}{yz+y+1}-\frac{z}{zx+z+1}-\frac{x}{xy+x+1}=$$ $$=\frac{(xyz-1)^2}{(xy+x+1)(yz+y+1)(zx+z+1)},$$ $$\frac{S(\triangle A_2B_2C_2)}{S(\triangle ABC)}=\frac{1}{7}.$$

Заодно доказали теорему Чевы.

ссылка

отвечен 18 Дек '14 2:24

изменен 6 Ноя '15 20:11

По идее, тут можно отношения длин, получающихся при пересечении отрезков, найти по готовым формулам типа теоремы Ван-Обеля. Или свести задачу к случаю равностороннего треугольника, где всё считается напрямую.

(18 Дек '14 3:17) falcao
2

@nicat: все равенства здесь получаются по одному и тому же принципу. Если у треугольников общая высота, то отношение площадей равно отношению оснований. А эти отношения нам известны: они выражаются через x, y, z. Поэтому каждое из равенств нужно просто взять и проследить.

(5 Ноя '15 20:07) falcao

@falcao:Извините пожалуйста, а где находиться точка А(2) , В(2)и С(2).Даже я подумал на вес день.Там комбинация много...

(6 Ноя '15 19:02) kerim

@falcao: Вставил рисунок. Буквы не трогал, кажется всё на месте.

(6 Ноя '15 20:14) EdwardTurJ

@EdwardTurJ: буквы там явно не все на месте, потому что в первом равенстве должны сравниваться треугольники с общей высотой и отношением оснований 1:z, но там присутствует нечто другое.

(7 Ноя '15 2:31) falcao
2

@falcao: В первом равенстве сравниваются треугольники с общим основанием и отношением высот $%\frac1z$%.

(7 Ноя '15 10:50) EdwardTurJ
2

@EdwardTurJ: да, у Вас всё правильно. Я просто не разгадал Вашего замысла, потому что сам делал бы не так. От $%CC_2B$% по Ван-Обелю переходим к $%CC_1B$%, а потом к $%ABC$%, то есть всего за 2 шага.

(7 Ноя '15 11:28) falcao

@falcao: Извините пожалуйста а по Ван-Обелю отношение как получилась.... АC(1)/C(1)B+AB(1)/B(1)C =?

(7 Ноя '15 20:01) kerim
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×374
×222

задан
18 Дек '14 0:54

показан
1452 раза

обновлен
7 Ноя '15 20:41

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru