$$\int_0^{+\infty} \sin x^{2} \cdot ({\rm arctg}x)^{2} dx$$

Не понимаю, как доказать сходимость синуса.

задан 18 Дек '14 19:47

изменен 19 Дек '14 2:40

10|600 символов нужно символов осталось
1

Здесь в конце должно быть добавлено $%dx$%.

Рассмотрим замену $%y=x^2$%. Тогда $%dy=2x\,dx$%, то есть $%dx=\frac{dy}{2\sqrt{y}}$%. Получается такой несобственный интеграл: $$\frac12\int\limits_0^{+\infty}\frac{\sin y}{\sqrt{y}}(\arctan\sqrt{y})^2\,dy.$$ Положим $%f(y)=\frac{\sin y}{\sqrt{y}}$%, $%g(y)=(\arctan\sqrt{y})^2$%, и проверим условия признака Абеля. Функция $%g(y)$% монотонна и ограничена на $%y\in[0;+\infty)$% -- она возрастает, изменяясь от $%0$% до $%(\pi/2)^2$%.

Теперь надо проверить, что несобственный интеграл от функции $%f(y)$% сходится. Здесь можно применить признак Дирихле. Синус имеет ограниченную первообразную, а $%\frac1{\sqrt{y}}$% монотонно стремится к нулю. Таким образом, исходный интеграл сходится по признаку Абеля.

ссылка

отвечен 18 Дек '14 21:11

изменен 18 Дек '14 21:13

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,108
×199
×85

задан
18 Дек '14 19:47

показан
395 раз

обновлен
19 Дек '14 2:40

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru