В прямоугольную трапецию вписана окружность. Известно, что площадь трапеции равна 18, а одно из оснований меньше другого на 0,5. Найдите большее основание.

задан 19 Дек '14 23:25

10|600 символов нужно символов осталось
0

Суммы длин противоположных сторон описанного четырёхугольника равны. Каждая из этих сумм равна полупериметру. Площадь любого описанного многоугольника равна произведению полупериметра на радиус вписанной окружности. Обозначая этот радиус через $%r$%, получаем, что полупериметр у нас равен $%\frac{18}r$%. Одна из боковых сторон, перпендикулярная основаниям, равна $%2r$%, откуда вторая равна $%\frac{18}r-2r$%.

Опуская перпендикуляр на большее основание из конца меньшего основания, имеем прямоугольный треугольник с гипотенузой $%\frac{18}r-2r$%, один из катетов которого равен $%2r$%, а второй равен разности длин оснований, то есть $%\frac12$%. Теорема Пифагора приводит к уравнению $%(\frac{18}r-2r)^2=4r^2+\frac14$%, упрощая которое, получаем $%\frac{18^2}{r^2}-72=\frac14$%, то есть $%r^2=\frac{18^2\cdot2^2}{289}$%, откуда $%r=\frac{36}{17}$%.

Таким образом, высота трапеции равна $%h=2r=\frac{72}{17}$%, и тогда средняя линия равна $%S/h=\frac{17}4$%. Большее основание меньше средней линии на $%\frac14$%, то есть равно $%\frac92$% (а меньшее равно $%4$%).

ссылка

отвечен 20 Дек '14 0:48

10|600 символов нужно символов осталось
0

Введем обозначения: большее основание равно b, меньшее основание $%a=b+0,5$%. Высота трапеции равна h, боковвые стороны равны h и с, т.к. трапеция прямоугольная. Площадь трапеции равна: $%S= \frac{a+b}{2} \bullet h = \frac{2b+0,5}{2} \bullet h=18$%; $%\big(2b+0,5\big) \bullet h=36$%; $%\big(2b+0,5\big)= \frac{36}{h}$%
У четырехугольника. в который вписана окружность равны суммы противоположных сторон, т.е. $%a+b=h+c$% ; $%2b+0,5=h+c$%; $% c^{2}= h^{2}+ \big(a-b\big) ^{2} $%;
$% c^{2}= h^{2}+ 0,25 $% ; $%c= \sqrt{ h^{2}+0,25 }$% ; Подставим полученные выражения в формулу равенства суммы сторон и получим уравнение: $%\frac{36}{h}=h+ \sqrt{ h^{2}+0,25 }$%. Решив его найдем h = $% \frac{72}{17} $%. Из уравнения $%\big(2b+0,5\big) \bullet h=36$% найдем $%b=4$% и тогда $%a=b+0,5 = 4,5$% Ответ: большее основание трапеции равно 4,5.

ссылка

отвечен 20 Дек '14 0:51

изменен 20 Дек '14 1:08

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,957

задан
19 Дек '14 23:25

показан
2271 раз

обновлен
20 Дек '14 1:08

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru