Здравствуйте!

Задание:

Построить обратную матрицу А.

$$A \in R^{n*n}$$ $$ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Т.е. главная диагональ имеет все 1, и диагональ $%a_{12}...a_{n-1,n-1} $% единичная, а остальные - нулевые.

Спасибо.

У меня за задачу стоит -/+. Видимо неверно решено.

задан 20 Дек '14 17:42

изменен 20 Дек '14 19:39

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

10|600 символов нужно символов осталось
1

Проще всего применить метод Гаусса. Записываем "сдвоенную" матрицу $%(A\mid E)$%. Преобразуем её при помощи элементарных преобразований так, чтобы слева возникла единичная матрица. Тогда справа будет обратная: $%(A\mid E)\sim(E\mid A^{-1})$%.

Сначала надо первую строку на месте $%A$% сделать единичной. У нас там $%a_{12}=1$%. Вычитаем вторую строку. На втором месте получается ноль, но на третьем возникает $%-1$%. Прибавляем третью строку. Тогда $%a_{14}$% принимает значение 1, и надо вычесть 4-ю строку, и так далее.

Посмотрим, что произошло справа. Из первой строки вычли вторую, прибавили третью, и так далее. Это дало строку (1 -1 1 -1 ... ), в которой единицы и минус единицы чередуются.

Теперь преобразуем вторую строку к нужном виду. Аналогично, вычитаем из неё 3-ю, потом прибавляем 4-ю, и так далее. Вторая строка справа станет равна (0 1 -1 1 -1 ... ).

Теперь закономерность понятна: у $%A^{-1}$% на главной диагонали стоят 1, выше неё -1, ещё выше 1, потом снова -1, и так далее.

Возможен и другой способ. Подействуем матрицей $%A$% на единичные базисные векторы. Получатся столбцы матрицы $%A$%, координаты которых мы знаем. Отсюда $%Ae_1=e_1$%, $%Ae_2=e_1+e_2$%, $%Ae_3=e_2+e_3$%, ... , $%Ae_n=e_{n-1}+e_n$%. Нас интересует обратная зависимость. Легко видеть, что $%A^{-1}e_1=e_1$%, $%A^{-1}e_2=e_2-e_1$%, $%A^{-1}e_3=e_3-e_2+e_1$% и так далее. Координаты образов базисных векторов записываем в виде столбцов матрицы, получая то же, что было выше.

ссылка

отвечен 20 Дек '14 20:20

@falcao, спасибо, все понял, кроме одной вещи - изначально матрица E - это таже матрица A? Не соображу, как она выглядит. У меня стате ошибка в решение моем - у меня лучались не -1 а 0. Т. е. 1 и 0 у меня чередовались.

(22 Дек '14 18:54) ВладиславМСК

@ВладиславМСК: матрица E -- это единичная матрица, она не равна A. Смысл метода в том, что мы записываем "широкую" матрицу из двух частей: слева A из условия, справа E. Потом добиваемся того, чтобы на месте A появилась E. Тогда на месте E справа появится обратная для A.

(22 Дек '14 20:56) falcao

@falcao, а, понял, спасибо.

(22 Дек '14 21:35) ВладиславМСК
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×279

задан
20 Дек '14 17:42

показан
282 раза

обновлен
22 Дек '14 21:35

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru