Чему будет равна сумма ряда

$$\sum\limits_{n=2}^{\inf} (-1)^n\frac {x^{2n-1}}{(n-1)(2n-1)}$$

Я делаю так: нахожу вторую производную, умножаю результат на $%x^3$%, далее записываю пол полученный ряд как функцию $%2(1/(1+x^2)-1+x)$% и 2 раза интегрирую.
Ответ не совпадает с калькуляторным решением wolframAlpha, вот и не пойму в чем моя ошибка, хотя в вычислениях все верно.

задан 20 Дек '14 19:27

изменен 20 Дек '14 19:50

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

10|600 символов нужно символов осталось
0

Положим $%f(x)=\sum\limits_{n=2}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n-1}}{(n-1)(2n-1)}$%. В результате почленного дифференцирования (обоснование применимости этого приёма достаточно стандартно) получится $%f'(x)=\sum\limits_{n=2}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n-2}}{n-1}$%. Это есть $%f'(x)=g(x^2)$%, где $%g(t)=\sum\limits_{k=1}^{\infty}(-1)^{k-1}\frac{t^k}k$%. Формулу для этого ряда можно считать известной; она также получается с помощью дифференцирования, только применять его надо после замены $%x^2$% на новую переменную $%t$%. Можно воспользоваться здесь готовым результатом, поскольку формула для разложения натурального логарифма в окрестности нуля нам известна, откуда $%g(t)=\ln(1+t)$%.

Таким образом, $%f'(x)=\ln(1+x^2)$%, и остаётся проинтегрировать эту функцию. Делается это при помощи интегрирования по частям, и ответ получается такой: $%f(x)=x\ln(1+x^2)-2x+2\arctan x$%. Константа $%C$% равна здесь нулю с учётом $%f(0)=0$%.

ссылка

отвечен 20 Дек '14 19:52

спасибо, оказалось, нужно было не брать вторую производную, а преобразовать до ln(1+t), в чем и и была моя ошибка)

(21 Дек '14 12:10) Ni55an
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×803
×121

задан
20 Дек '14 19:27

показан
623 раза

обновлен
21 Дек '14 12:10

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru