Пин-код телефона состоит из 4 цифр (и может начинаться с нуля, например, 0951). Петя называет «счастливыми» такие пин-коды, у которых сумма крайних цифр равна сумме средних, например 1357: 1+7=3+5. В своем телефоне он использует только «счастливые» пин-коды. Петя говорит, что даже если забудет одну цифру (но будет помнить ее позицию), то он легко ее восстановит. А если он забудет две цифры (но будет помнить их позиции), то ему придется перебрать лишь небольшое количество пин-кодов.
a) Сколько пин-кодов придется перебрать Пете в худшем случае?
b) Сколько существует всего «счастливых» пин-кодов?

задан 21 Дек '14 15:14

изменен 21 Дек '14 15:21

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

10|600 символов нужно символов осталось
0

b) Пусть сумма первой и последней цифр равна $%k$%, где $%0\le k\le18$%. Если $%k\le9$%, то количество вариантов для выбора первой и последней цифр с такой суммой равно $%k+1$%, так как первая цифра выбирается $%k+1$% способом (от $%0$% до $%k$% включительно), а последняя по ней однозначно определяется. Столькими же способами выбирается пара средних цифр, что даёт $%(k+1)^2$% вариантов при данном $%k$%.

Для $%k > 9$% имеет место симметрия: случай $%k=0$% симметричен случаю $%k=18$%, случай $%k=17$% симметричен $%k=1$% и так далее. Поэтому общее число вариантов равно $%2(1^2+2^2+\cdots+9^2)+10^2=670$%. Это и будет число "счастливых" пин-кодов.

a) Предположим, что Петя забыл две симметричные друг другу цифры -- например, первую и последнюю. Он знает их сумму, равную $%k$%. Из сказанного выше следует, что максимальное количество вариантов достигается при $%k=9$%, и оно равно $%10$%.

Теперь рассмотрим случай, когда забыты две не симметричные цифры -- например, первая и вторая (остальные варианты аналогичны). Тогда у этих чисел известна разность, и если первая цифра задана, то вторая определяется однозначно. Поэтому и здесь имеется не более 10 вариантов.

ссылка

отвечен 21 Дек '14 15:51

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,957

задан
21 Дек '14 15:14

показан
3376 раз

обновлен
21 Дек '14 15:51

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru