Доказать неравенство: $$\int_0^1\frac{f(x+a)}{f(x)}dx\ge1,$$ где $%f(x)$%- непрерывная и положительная на всей числовой прямой периодическая функция с периодом $%1$%, $%a$% - произвольное действительное число.

задан 21 Дек '14 17:12

изменен 21 Дек '14 17:25

10|600 символов нужно символов осталось
2

Рассмотрим случай, когда $%a$% рационально со знаменателем $%n$%. Рассмотрим $%n$% равных между собой интегралов, которые получаются друг из друга в результате замен вида $%x\mapsto x+a$% при интегрировании по окружности. При этом $%f(x+na)=f(x)$% в силу периодичности.

Складывая все такие интегралы между собой, имеем $%nI=\int_0^1g(x)\,dx$%, где $%g(x)=\frac{f(x+a)}{f(x)}+\frac{f(x+2a)}{f(x+a)}+\cdots+\frac{f(x+na)}{f(x+(n-1)a)}$%. Произведение слагаемых равно 1, и тогда в силу неравенства о среднем получается $%g(n)\ge n$%. Из этого следует, что $%I\ge1$% для любого рационального $%a$%.

Пусть $%a$% иррационально. Пользуясь равномерной непрерывностью функции $%f$% на отрезке, для любого $%\varepsilon > 0$% выбираем подходящее $%\delta$%, а для него -- достаточно точное рациональное приближение $%b$% для числа $%a$%. Тогда модуль разности функций $%\frac{f(x+a)}{f(x)}$% и $%\frac{f(x+b)}{f(x)}$% не больше $%\varepsilon/c$%, где $%c > 0$% -- наименьшее значение функции $%f$% на отрезке. Тогда интегралы от этих функций по отрезку различаются не более чем на $%\varepsilon/c$%, и оцениваемый интеграл не меньше $%1-\varepsilon/c$%. Ввиду произвольности числа $%\varepsilon > 0$%, интеграл из условия не меньше $%1$%.

ссылка

отвечен 22 Дек '14 1:17

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×236
×224
×158
×29

задан
21 Дек '14 17:12

показан
1846 раз

обновлен
22 Дек '14 1:53

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru