$$\int\sqrt{1-x^2}{\rm arcsin}xdx$$

задан 21 Дек '14 19:30

изменен 22 Дек '14 19:09

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

10|600 символов нужно символов осталось
1

Положим $%t=\arcsin x$%, то есть $%x=\sin t$%, и $%dx=\cos t\,dt$%. Получается $%\int t\cos^2t\,dt=\frac12\int t(1+\cos2t)dt$%. Интеграл от первого слагаемого равен $%t^2/4$%. Второе слагаемое интегрируем по частям: $%\frac14\int t\,d(\sin2t)=\frac14t\sin2t-\frac14\int\sin2t\,dt=\frac14t\sin2t+\frac18\cos2t+C$%.

Всё вместе даёт $%\frac14(t^2+t\sin2t+\frac12\cos2t)+C$%, и после выражения через $%x$% будет $%\frac14(\arcsin^2x+2x\sqrt{1-x^2}\arcsin x-x^2)+C$%. Одно из слагаемых, равное $%\frac12$%, в процессе преобразований можно не учитывать, так как оно равно константе.

ссылка

отвечен 21 Дек '14 19:49

10|600 символов нужно символов осталось
1

Сделайте замену $%z = \arcsin x$% ...

ссылка

отвечен 21 Дек '14 19:37

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,046
×179

задан
21 Дек '14 19:30

показан
574 раза

обновлен
21 Дек '14 19:49

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru