На полуинтервале $%(0;1]$% вычислите неопределенный интеграл $% \int [\frac{1}{\sqrt{x}}] $% .

задан 21 Дек '14 20:02

изменен 22 Дек '14 19:10

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

10|600 символов нужно символов осталось
0

В конце надо добавить дифференциал $%dx$%.

Пусть $%[\frac1{\sqrt{x}}]=k\ge1$%. Тогда $%k\le\frac1{\sqrt{x}} < k+1$%, то есть $%\frac1{(k+1)^2} < x\le\frac1{k^2}$%. По каждому такому промежутку, длина которого равна $%\frac{2k+1}{k^2(k+1)^2}$%, интегрируется функция, равная $%k$%, и получается сумма ряда $%\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{2k+1}{k(k+1)^2}$%.

Представляя числитель в виде суммы $%k+(k+1)$%, имеем сумму двух рядов: $%\frac1{2^2}+\frac1{3^2}+\cdots+\frac1{n^2}+\cdots$% и $%\frac1{1\cdot2}+\frac1{2\cdot3}+\cdots+\frac1{n(n+1)}+\cdots$%. Члены второго ряда представляются в виде $%\frac1n-\frac1{n+1}$%, и их сумма равна $%1$%. В итоге всё вместе даёт $%1+\frac1{2^2}+\frac1{3^2}+\cdots+\frac1{n^2}+\cdots=\frac{\pi^2}6$% согласно известному равенству.

ссылка

отвечен 21 Дек '14 20:15

@falcao, дык, ТС про НЕопределённый интеграл вопрошал... задумчиво чешет репу

(21 Дек '14 20:55) all_exist

@all_exist: я воспринял это условие именно так, поскольку было сказано "на полуинтервале". Возможно, имелось в виду другое, но тогда ответ имеет менее интересный вид. Из приведённых выше соображений нетрудно понять, как он выглядит.

(21 Дек '14 21:02) falcao

@falcao, было сказано "на полуинтервале" - ну, просто слева подынтегральная функция не определена, а справа тожественный нуль ...

(21 Дек '14 21:10) all_exist
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×961

задан
21 Дек '14 20:02

показан
336 раз

обновлен
22 Дек '14 19:10

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru