При решении одной технической проблемы возникла следующая математическая задача. Исходя из известных в дифференциальной геометрии выражений, кривизна линии в полярных координатах определяется как:

$$K( \varphi )= | \rho ^{2} +2 \times (\rho ' )^{2}- \rho \times \rho'' | / ( \rho ^{2} +(\rho ' )^{2})^{3/2}$$

Таким образом, задача заключается в том, чтобы получить выражение $%\rho ( \varphi )$%, используя заданную в полярных координатах известную функцию кривизны $%K( \varphi )$%. Мне удалось найти подстановку, которая приводит выражение кривизны линии в полярных координатах к двум дифференциальным уравнениям первого порядка. После ряда дальнейших преобразований было получено дифференциальное уравнение второго порядка следующего вида:

$$K \times \eta ''- K' \times \eta '+K \times \eta +K' \times (1- \eta ^{2} ) ^{1/2} =0$$

Все производные находятся по переменной $%\varphi$%. То есть имеется известная функция кривизны $%K( \varphi )$% и ее производная $%K'$%. Необходимо определить неизвестную функцию $%\eta ( \varphi )$%, которая, с другой стороны, задается как $%\eta ( \varphi )=\sin( \gamma ( \varphi ))$%.

В этом, вкратце, суть решения задачи, которое было впоследствии отправлено в публикацию. У меня следующие вопросы к участникам форума:

  1. Встречалось ли где-нибудь решение подобной задачи в аналитической форме?
  2. Известно ли Вам решение уравнения $%K \times \eta ''- K' \times \eta '+K \times \eta +K' \times (1- \eta ^{2} ) ^{1/2} =0$% в аналитическом виде.

С уважением, Жуковец Василий, Белорусский национальный технический университет, город Минск, Республика Беларусь.

задан 12 Май '12 1:03

изменен 13 Май '12 10:39

%D0%A5%D1%8D%D1%88%D0%9A%D0%BE%D0%B4's gravatar image


5525

10|600 символов нужно символов осталось
1

Можно сразу отметить 2 момента.

1) Это нелинейное ДУ второго порядка.
2) Коэффициенты уравнения - произвольные функции (вид функции $%K(\varphi) $% не задан).

Получить при этих условиях общее аналитическое решение вряд ли возможно, это можно попытаться сделать только для каких-то частных случаев зависимости $%K(\varphi) $%. Можно также попытаться построить асимптотическое разложение в том или ином приближении.

А чем, собственно, не устраивает просто решение уравнения "в лоб" каким-нибудь численным методом? Это можно сделать, например, в каком-нибудь математическом пакете - в Маткаде, в Матлабе, в Математике, в Мэпле, в Скайлабе и т.п.

p.s. Кстати, об аналитических решениях. Уравнение имеет однопараметрическое семейство решений $%\eta(\varphi)=sin(\varphi+C)$%, C- параметр, справедливое для любой функции $%K(\varphi) $%.

ссылка

отвечен 13 Май '12 17:56

изменен 17 Май '12 22:39

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×790
×340

задан
12 Май '12 1:03

показан
1801 раз

обновлен
17 Май '12 22:39

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru