$$f:M \to R,$$ $$M={x(t)\in C[0,1]: x(0)=0, x(1)=1, ||x||≤1},$$ $$f(x(t))= \int\limits_0^1x^2(t)dt.$$

задан 22 Дек '14 15:45

изменен 22 Дек '14 19:48

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

10|600 символов нужно символов осталось
0

Отображение является непрерывным. Смысл следующий: если функцию чуть-чуть изменить (в смысле нормы), то интеграл от её квадрата изменится так же "чуть-чуть".

Формальное доказательство: пусть $%x_0\in M$%; рассмотрим функцию $%x\in M$% такую, что $%||x-x_0|| < \delta$%. Это значит, что $%|x(t)-x_0(t)| < \delta$% для всех $%t\in[0;1]$%.

Заметим, что $%||x||\le1$% и $%||x_0||\le1$% по условию, откуда $%|x(t)+x_0(t)|\le|x(t)|+|x_0(t)|\le1+1=2$%. Отсюда $%|x(t)^2-x_0(t)^2|=|x(t)-x_0(t)|\cdot|x(t)+x_0(t)| < 2\delta$% при всех $%t\in[0;1]$%. Это значит, что выполнено двойное неравенство $%x_0(t)^2-2\delta < x(t)^2 < x_0(t)^2+2\delta$%; интегрируя по отрезку, получаем как следствие, что $%\int_0^1x_0(t)^2dt-2\delta < \int_0^1x(t)^2dt < \int_0^1x_0(t)^2dt+2\delta$%. Следовательно, $%|f(x(t))-f(x_0(t))| < 2\delta$%, и тогда, полагая $%\delta=\varepsilon/2$%, приходим к выводу о непрерывности отображения в соответствии с определением.

ссылка

отвечен 22 Дек '14 20:26

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×58

задан
22 Дек '14 15:45

показан
317 раз

обновлен
22 Дек '14 20:29

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru