$$< x,f >=\int\limits_{-1}^1tx(t)dt, \ x \in L_2[-1,1]$$

задан 22 Дек '14 18:46

изменен 22 Дек '14 19:59

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

@elena-1234, Если вам дан исчерпывающий ответ, отметьте его как верный (нажмите на галку рядом с выбранным ответом).

(23 Дек '14 19:50) Виталина
10|600 символов нужно символов осталось
1

Используя неравенство Коши-Буняковского, получим $$ \vert\langle {x,\,f} \rangle \vert=\left\vert {\int\limits_{-1}^{1}{tx(t)dt}} \right\vert \leqslant \left({\int\limits_{-1}^{1}{t^2dt}} \right)^{\tfrac{1}{2}} \cdot \left({\int\limits_{-1}^{1}{|x(t)|^2dt}} \right)^{\tfrac{1}{2}} = \sqrt{\frac{2}{3}} \Vert x\Vert_{L_2 [-1,\,1]},$$ откуда следует, что $$ \Vert\langle {x,\,f} \rangle \Vert \leqslant \sqrt{\frac{2}{3}}.$$

На элементе $%x^{\ast}(t)=\sqrt{\frac{3}{2}}\cdot t$% достигается $%\sup\limits_{x\in {L_2 [-1,\,1]}} \frac{\vert\langle {x,\,f} \rangle \vert}{\Vert x\Vert},$% поскольку $$\Vert x^{\ast}\Vert=\left({\int\limits_{-1}^{1}{|x^{\ast}(t)|^2dt}} \right)^{\tfrac{1}{2}}=\left({{\frac{3}{2}}\int\limits_{-1}^{1}{|t|^2\,dt}} \right)^{\tfrac{1}{2}}=\left({{\frac{3}{2}}\cdot 2\int\limits_{0}^{1}{t^2\,dt}} \right)^{\tfrac{1}{2}}=1,$$ а $$\vert\langle {x^{\ast},\,f} \rangle \vert=\left\vert {\int\limits_{-1}^{1}{tx^{\ast}(t) dt}} \right\vert=\left\vert {\sqrt{\frac{3}{2}}\int\limits_{-1}^{1}{t^2 dt}} \right\vert=\sqrt{\frac{2}{3}},$$ поэтому $%\Vert f\Vert=\sqrt{\frac{2}{3}}.$%

ссылка

отвечен 22 Дек '14 23:52

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×61

задан
22 Дек '14 18:46

показан
298 раз

обновлен
23 Дек '14 19:50

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru