Можно ли найти среднее число билетов, которое следует от произвольного номера вашего билета до следующего счастливого (сумма первых 3 числе = сумме последних 3 чисел). Хочется сделать это без помощи программ, можно не точное значение, а способ оценить его (всегда было интересно).

задан 12 Май '12 21:47

изменен 13 Май '12 10:36

%D0%A5%D1%8D%D1%88%D0%9A%D0%BE%D0%B4's gravatar image


5525

Хотел бы подчеркнуть что условие

сумма первых 3 числе = сумме последних 3 чисел

не означает, что число шестизначное. Например номер 25556351 выигрышный

И что за среднее надо найти?? усреденное значение числа билетов по чему???

(18 Май '12 1:46) chipnddail

Ну, не придирайтесь! Это же не просто число, это номер билета, а они обычно не содержат 128 цифр!

Усреднение, видимо, по всем возможным номерам билета.
Другое дело, что номера могут начинаться с 100 000 или с 000 000. И еще "число билетов, которые следуют от... до..." - это включительно или исключительно?

(18 Май '12 1:51) DocentI

Логичней считать числа с 001 000 до 999 999, вроде билетов меньшего значения не бывает .Я посмотрел оценки ,сегодня вечером попробую написать программу ,которая перебором укажет ответ. Результат напишу и сравню с теорией.

(18 Май '12 12:49) Balon

@falcao говорит, что уже нашел ответ (от 49 до 50).
Что касается номеров от 001 000, то
а) это сильно не изменит ответ (примерно на 0,5, т.к. от 000000 нет с.б. до 001 001)
б) теоретические рассуждения станут не симметричными
в) А чем плох номер 000 000? Начинается с 0? Чтобы этого не было, надо начинать с 100 000.

(18 Май '12 13:05) DocentI
1

Я попробую разные числа, благо в программе это не трудно сделать будет.

(19 Май '12 23:13) Balon
10|600 символов нужно символов осталось
1

Число выигрышных билетов, как посчитал Excel под руководством @DocentI и @ASailyan равно $%55 252$%.

Число проигравших билетов и будет суммой расстояний между счастливыми $%1'000'000 - 55'252 = 944'748$%

Среднее расстояние между счастливыми билетами $%\frac{944'748}{55'252} \approx 17.1 $%

ОЧЕВИДНО что среднее расстояние между числами в последовательности не равно среднему расстоянию по испытаниям.

БОЛЬШОЙ ВОПРОС об эквивалентности замены реального распределения выигрышных билетов на их среднее значение.

Разберем 2 простых последовательности: xooxoooooox и xooooxoooox, где x - выигрыш, o - проигрыш. Тогда суммы расстояний будут: $$ xooxoooooox : 0+2+1+0+6+5+4+3+2+1+0 = 24 $$ $$ xooooxoooox : 0+4+3+2+1+0+4+3+2+1+0 = 20 $$

ПРОГРАММНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ: Предполагаем равномерное распределение случайной величины(номер билета). Тогда при проведении 1 000 000 испытаний каждый из билетов должен выпасть 1 раз.

В результате программной реализации были получены следующие результаты:

Результаты: Число проведенных испытаний: 1000000

Число выпавших счастливых билетов: 55252

Сумма расстояний до счастливого билета: 49464459

Среднее расстояние до счастливого билета : 49.464459

Мое мнение: При условии такой "аддитивной эквивалентности" теоретическое решение кажется МНЕ весьма нетривиальным.

ссылка

отвечен 20 Май '12 0:19

изменен 20 Май '12 1:23

"Сумма расстояний между счастливыми билетами: 49464459"
Так это сумма расстояний между или расстояний до.

(20 Май '12 0:52) DocentI

О программной реализации: Вы выбирали номер билета случайно или перебрали все номера до 999 999? В последнем случае это именно та величина, которая нужна. Если, конечно, не усложнять модель какими-нибудь абсурдными дополнениями (например, что кондуктор не любит продавать билеты, кончающиеся на 13).

Достаточно подсчитать расстояния между с.б., так как искомое среднее можно вычислить по ним по формуле $%\sum{n_i(n_i+1)\over 2 N}$%, где N = 1000000, если билеты нумеруются с 000 000.
В постановке задачи, использованной мной и @ASailyan, ответ на 1 больше, чем у Вас.

(20 Май '12 1:35) DocentI
1

@DocentI, Я перебрал все варианты, в идеальном случае генератор случайных чисел с равномерным распределением случайной величины должен выдавать именно этот результат. Думаю, что в ответе @Asailyan и у Вас найдено, что примерно каждый 18й билет выигрышный, что согласуется с тем, что между выигрышными примерно 17 билетов.

(20 Май '12 2:04) chipnddail
10|600 символов нужно символов осталось
1

Точное значение легко находится при помощи компьютерных вычислений, и оно лежит между 49 и 50, как это ни "парадоксально" (при том, что примерно каждый 18-й билет является "счастливым"). В связи с этим хотелось бы уточнить следующее: понятно, что Вы ставите вопрос о "прозрачном" рассуждении, которое даёт какую-то "приемлемую" точность, но в каком "диапазоне" Вас устраивала бы оценка? Конечно, если бы "на пальцах" удалось показать, что среднее значение лежит между 49 и 50, то это было бы очень хорошо. Но этого может и не получиться, поэтому я хочу спросить, устроит ли Вас какая-то более "грубая" оценка? Типа того, что значение лежит между 25 и 75.

ссылка

отвечен 18 Май '12 10:54

10|600 символов нужно символов осталось
0

Пусть $%N=\overline{abcdef}$% номер счастливого билета . $$\overline{abcdef}=1000\overline{abc}+\overline{def},$$ где $%a+b+c=d+e+f.$% Тогда если увеличить $%N$% на $% 9=10-1$%, то в большинстве случаев вместо $% e $% будет цифра $% e+1 $% , а вместо $% f $% цифра $% f-1 $%, и сумма последных трех цифр останется неизменной, значить билет останется счастливой.А если $% f=0$% или $% e=9$% , тогда будет "скачок" больше $% 9-$%и. Но таких скачков будут мало, примерно один раз через $%5$% последовательных счастливых билетов$%(2/10).$%
$% 9$% это мода последовательности расстояний соседных счастливых билетов.

ссылка

отвечен 17 Май '12 23:27

изменен 20 Май '12 10:51

Нет, эта оценка сильно занижена. Конечно, иногда счастливые билеты будут идти через 9, но потом промежуток между ними резко возрастает.
Где-то здесь уже был вопрос о счастливых билетах. Кажется, там говорилось о том, как часто они встречаются. Если знать эту частоту, то можно найти среднее расстояние между счастливыми билетами. Правда, это не совсем та величина, о которой говорит автор вопроса.

(18 Май '12 1:34) DocentI

Думаю последняя комментария не относится моего ответа. Проверила по программе.Сумма расстояний счастливых билетов как не странно 999999, а число счастливых билетов 55252, среднее число будет приблизительно 18.

(18 Май '12 22:55) ASailyan

Да комментарий был к убранному потом комменту. Свой тоже убрала.

(19 Май '12 23:01) DocentI
10|600 символов нужно символов осталось
0

Переформулируем задачу так. Вы купили билет. Если он несчастливый, то покупаете билеты из рулона подряд до появления счастливого. Сколько в среднем билетов Вы будете покупать при такой тактике?

Если считать для простоты, что номера билетов меняются от 000 000 до 999 999, то счастливых среди них будет 55 252 (каюсь, посчитала с помощью Excel). Значит, среднее расстояние между счастливыми билетами n равно примерно 18 (включительно один из номеров). Если бы все расстояния между с.б. были одинаковыми, то искомое расстояние менялось бы как 18,17, ..., 1 (в счет включен сам счастливый билет). Среднее значение этой величины равно 9,5.

Если промежутки между счастливыми билетами (включая один счастливый) обозначить через $%n_i, i = 1, 2, ..., 55252$%, то $%\sum n_i=1000000$%, а искомое среднее равно $%{\sum n_i(n_i+1)\over2\cdot \sum n_i}$%. Обозначим $%n_i=n+m_i$%, среднее значение $%m_i$% равно 0. Тогда искомая величина равна
$${\sum (m_i+n)(m_i+n+1)\over2000000} = {\sum (m_i^2+(2n+1)m_i+n(n+1))\over2000000}=$$ $$={\sum m_i^2\over2000000}+{n(n+1)55252\over 2000000}= {\sum m_i^2\over2000000}+{n+1\over 2}.$$ Осталось оценить сумму квадратов $%m_i$%. Как показала @ASailyan, многие промежутки между счастливыми билетами равны 9, для них $%m_i=-9$%. Если считать, что отклонение в "положительную" сторону равно примерно тому же (весьма грубая оценка!), то $%{\sum m_i^2\over2000000} \approx {55252\cdot 9^2\over 2000000} \approx 2,24$%, Тогда искомое среднее примерно равно $%2,24+{18,1+1\over 2} = 11,79 $%. Но, думаю, эта оценка тоже заниженная.
Например, после 000 000 следующий с.б. - 001 001, расстояние между ними 1001, $%m_1 \approx 983$%, то же для $%m_{55252}$%. Только эти два числа дают в сумме квадратов составляющую $%2\cdot 983^2 = 1932578 $%, что при делении на 2000000 дает почти 1.
Почти такие же большие скачки происходят при переходе к каждой новой тысяче. Если считать, что они равны по крайней мере 118 (на самом деле в основном в разы больше), то получим вклад в сумму квадратов не меньше $%1000\cdot 100^2=10.000.000$%, что после деления на 2.000.000 дает 5. Это число можно прибавить к полученной ранее оценке, примерно равной 12. Получаем, что среднее "ожидание" с.б. не менее 17.

ссылка

отвечен 18 Май '12 2:10

изменен 18 Май '12 10:18

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,224
×63

задан
12 Май '12 21:47

показан
4313 раз

обновлен
20 Май '12 10:51

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru