Биссектриса острого угла равнобедренной трапеции делит боковую сторону на части с длинами 30 и 20 считая от большего основания. Найти площадь этой трапеции, если меньшее основание равно 6.

задан 22 Дек '14 22:02

10|600 символов нужно символов осталось
1

Трапеция АВСД. CД = 30 + 20 = 50. Из вершины А проведем биссектрису АМ и получим треугольник АМД, с углами $%\alpha ; 2 \alpha ; 180-3 \alpha$%. Воспользуемся теоремой синусов для этого треугольника АМД: $%\frac{30}{sin \alpha }= \frac{a}{sin \big(180-3 \alpha \big) }$%, где а - большее основание трапеции. Воспользовавшись формулой приведения и формулой тройного угла для синуса и сократив знаменатели дробей на $%sin \alpha $% получим: $%30= \frac{a}{3-4 sin^{2} \alpha }$% . Откуда выразим $% sin^{2} \alpha = \frac{90-a}{120}$%. Проведем высоту CК из конца меньшего основания на большее основание, она отсечет отрезок: $%x= \frac{a-6}{2}$%. Треугольник СКД прямоугольный, $%x= СДcos2 \alpha = 50 \big(1-2 sin^{2} \alpha \big) $% . Подставив все значения получим: $% \frac{a-6}{2} =50-100 sin^{2} \alpha =50-100 \frac{90-a}{120}$%. Решив данное уравнение относительно а, получим а = 66. Тогда $%x= \frac{66-6}{2}=30$%, а
высота h = $%h= \sqrt{ CД^{2}- x^{2} } = \sqrt{ 50^{2} - 30^{2} }=40$%. Тогда площадь трапеции равна: $%S= \frac{66+6}{2} \bullet 40=1440$%.

ссылка

отвечен 22 Дек '14 23:10

10|600 символов нужно символов осталось
2

Точку пересечения биссектрисы с боковой стороной обозначим через $%E$%, а точку пересечения продолжения боковых сторон обозначим через $%F$%, середину $%BE$% через $%K$%, середину $%AD$% через $%L$%. $$\frac{FC+20}{30}=\frac{FE}{ED}=\frac{AF}{AD}=\frac{BF}{BE}=\frac{FC}{BE}=\frac{FC}{6},$$ $$FC=5,$$ $$AD=55\cdot6/5=66,FK=\sqrt{FC^2-KE^2}=4,FL=\sqrt{FD^2-LD^2}=44,KL=FL-FK=40,$$ $$S=(66+6)\cdot40/2=1440.$$

ссылка

отвечен 22 Дек '14 22:40

изменен 22 Дек '14 23:28

откуда af/ad = bf/be

(22 Дек '14 23:06) Vipz3

@Vipz3: $%\triangle BFE$% подобен $%\triangle AFD$%.

(22 Дек '14 23:24) EdwardTurJ

по какому признаку они подобны?

(22 Дек '14 23:36) Vipz3
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×81

задан
22 Дек '14 22:02

показан
2086 раз

обновлен
22 Дек '14 23:36

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru