1. Построить неабелеву группу порядка $%203$%, определить ее классы сопряженности, коммутант и одномерные представления.
  2. Определить все одномерные вещественные представления абелевой группы $% G =Z_2 \times Z_2 \times Z_2 \times Z_7 \times Z_9 $%
  3. Найти подполя и автоморфизмы поля $% F_{11^{56}} $%

задан 23 Дек '14 22:18

изменен 23 Дек '14 22:48

10|600 символов нужно символов осталось
1

1) $%203=7\cdot29$%, то есть это частный случай группы порядка $%pq$%, где $%q-1$% делится на $%p$%. Коммутант равен подгруппе $%\mathbb Z_q$%, то есть $%Z_{29}$%. Эта подгруппа нормальна, а факторгруппа по ней абелева. Значит, она содержит коммутант, и ясно, что он неединичен в силу неабелевости группы.

Одномерные представления являются одномерными представлениями факторгруппы по коммутанту, то есть $%\mathbb Z_7$%. Над полем $%\mathbb C$% их всего 7, и они описываются корнями 7-й степени из единицы.

Неединичные элементы группы имеют порядки $%29$% или $%7$%. Первых имеется 28 (это элементы нормальной циклической подгруппы порядка 29). Они разбиваются на 4 к.с.э. мощности 7. Остальные элементы, в количестве $%29\cdot7-29$%, разбиваются на 6 к.с.э. мощности 29.

2) Образующий группы нечётного порядка при одномерном вещественном представлении переходит в единицу, а образующие группы $%\mathbb Z_2$% в $%\pm1$%. Поэтому таких представлений группы будет $%2^3=8$%.

3) Автоморфизмы поля порядка $%p^n$% образуют циклическую группу порядка $%n$%. Её образующий является возведением в $%p$%-ю степень. Подполя имеют порядки $%p^m$%, где $%m|n$%. Подполе каждого такого порядка единственно.

ссылка

отвечен 24 Дек '14 3:05

Можете пояснить, почему коммутант группу в 1 равен подгруппе $% Z_q$%

(24 Дек '14 3:57) unite

У меня это объяснено: факторгруппа по этой подгруппе абелева, поэтому подгруппа содержит коммутант. В $%\mathbb Z_q$% есть только две подгруппы: она сама и единичная. Если бы коммутант не совпал с $%\mathbb Z_q$%, он был бы единичный, то есть группа была бы абелева. А у нас это не так.

(24 Дек '14 4:02) falcao

Добавлю несколько слов по поводу нормальной подгруппы и абелева фактора. Прежде всего, здесь речь идёт о конкретной группе, которая строится как полупрямое произведение. В этом случае одна из подгрупп по построению будет нормальной, а фактор по ней -- циклическим, то есть абелевым. Дополнительно доказывать ничего не надо. Чуть более сложная ситуация может быть при исследовании группы порядка pq, про которую заранее известно только то, что она неабелева. Тогда надо брать силовскую q-подгруппу и доказывать, что она нормальна. Фактор по ней имеет простой порядок, и он цикличен, то есть абелев.

(24 Дек '14 14:34) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,154
×673

задан
23 Дек '14 22:18

показан
466 раз

обновлен
24 Дек '14 14:34

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru