$$\lim\limits_{x \to 1}((4^x-\sqrt{x+8}-1)\cdot({\rm tg}(\frac {\pi x}2))$$

задан 24 Дек '14 1:09

изменен 24 Дек '14 18:49

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

10|600 символов нужно символов осталось
1

Положим $%t=x-1\to0$%. Первый сомножитель равен $%4^{t+1}-\sqrt{t+9}-1=4(4^t-1)-(\sqrt{9+t}-3)$%. Второй сомножитель равен $%\tan(\frac{\pi t}2+\frac{\pi}2)=-\cot\frac{\pi t}2\sim-\frac2{\pi t}$%.

Легко видеть, что $%\frac{4^t-1}t$% стремится к значению производной функции $%4^t$% в нуле, то есть к $%2\ln2$%. Аналогично, $%\frac{\sqrt{9+t}-3}t$% есть производная функции $%\sqrt{z}$%, равной $%\frac1{2\sqrt{z}}$%, в точке $%z=9$%, то есть это $%\frac16$%.

В итоге получается $%-\frac2{\pi}(8\ln2-\frac16)=\frac{1-48\ln2}{3\pi}$%.

ссылка

отвечен 24 Дек '14 1:26

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,811

задан
24 Дек '14 1:09

показан
361 раз

обновлен
24 Дек '14 1:27

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru