alt text Пытаюсь решить так же как тут:

http://math.hashcode.ru/questions/51162/%D1%81%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5-%D0%B2%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BE%D0%B9-%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BF%D0%B5%D0%BD%D0%B8

Я правильно рассуждаю? Получается, что -1/p зависит от остатка по модулю 4. Для 5 -- по модулю 5. Результат зависит от остатка, который даёт p при делении на 20. Остатки могут быть : 1, 5, 7, 11, 13, 17, 19

Теперь для каждого из остатков нужно посчитать чему равен каждый символ лежандра (-1/p и 5/p). Чему они будут равны, просто у меня по моему неверно...

задан 24 Дек '14 15:40

изменен 24 Дек '14 15:41

10|600 символов нужно символов осталось
1

Мне кажется, надо сначала уточнить формулировку. Я понимаю вопрос так, что надо найти все числа, которые могут быть простыми делителями чисел вида $%n^2+5$% при натуральных значениях $%n$%. Это делители значений полинома, а не самого полинома.

Прежде всего, ясно, что числа 2 и 5 могут быть делителями. Осталось понять, какие другие простые числа могут быть. Можно считать, что $%p$% взаимно просто с числом 20. Тогда возможно 8 значений остатков от деления на 20. Они таковы: 1, 3, 7, 9, 11, 13, 17, 19. Они выписываются по принципу взаимной простоты с 20, то есть это нечётные числа, не делящиеся на 5.

Для каждого из простых чисел, дающих заданный остаток, однозначно определяются символы Лежандра. Символ Лежандра числа -1 принимает значения 1, -1, -1, 1, -1, 1, 1, -1. Критерий понятен: значение 1 соответствует числам вида $%4k+1$%.

Теперь найдём значения символа Лежандра числа 5. Это число имеет вид $%4k+1$%, поэтому символ Лежандра можно "переворачивать" по закону взаимности Гаусса. Получится $%(\frac{p}5)$%, и далее $%p$% заменяем на остаток от деления на 5. Для чисел из списка это даст 1, 3, 2, 4, 1, 3, 2, 4. Символ Лежандра равен 1 у чисел 1 и 4, и он равен -1 у чисел 2 и 3. Отсюда получается список 1, -1, -1, 1, 1, -1, -1, 1. Теперь перемножаем почленно два списка символов Лежандра, и получается 1, 1, 1, 1, -1, -1, -1, -1. Это значит, что простое число, отличное от 2 и 5, может быть делителем чисел вида $%n^2+5$% тогда и только тогда, когда при делении на 20 оно даёт в остатке одно из четырёх значений: 1, 3, 7, 9.

Для наглядности запишем те простые числа, которые сюда входят (без учёта 2 и 5). Это 3, 7, 23, 29, 41, 43, 47, 61, 67, 83, 89, ... и так далее.

ссылка

отвечен 24 Дек '14 16:06

@falcao: Формулировка задания точно такая же, как и в этой задаче: math.hashcode.ru/questions/51162/

"Они таковы: 1, 3, 7, 9, 11, 13, 17, 19" Почему там есть 9?

(24 Дек '14 19:13) Andrew

@Andrew: понятно, что примеры аналогичные. Я уточнил формулировку, чтобы избежать двусмысленности.

(24 Дек '14 19:15) falcao

@Andrew: у меня в тексте написано, почему берутся именно эти остатки. Они взаимно просты с 2 и 5: это критерий. Число 9 подходит. Хотя оно составное, но простые числа могут давать такой остаток -- например, 89.

(24 Дек '14 19:53) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×42

задан
24 Дек '14 15:40

показан
290 раз

обновлен
24 Дек '14 19:53

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru