Найти значение симметрического многочлена F от корней многочлена f(x): $$F=x_1^3(x_2+x_3)+x_2^3(x_1+x_3)+x_3^3(x_1+x_2)$$ $$f(x)=x^3-x^2-4x+1$$

задан 24 Дек '14 19:08

10|600 символов нужно символов осталось
0

Прежде всего, выразим $%F$% через элементарные симметрические многочлены. Чтобы получился старший член $%x_1^3x_2$%, надо взять $%\sigma_1^2\sigma_2=(x_1+x_2+x_3)^2(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)$%. После раскрытия скобок и вычитания из $%F$% получается старший член $%-2x_1^2x_2^2$%, поэтому далее вычитаем $%-2\sigma_2^2$%. В конце остаётся вычесть $%\sigma_1\sigma_3$%.

Итоговое выражение равно $%F=\sigma_1^2\sigma_2-2\sigma_2^2-\sigma_1\sigma_3$%. Оно же могло быть получено при помощи метода неопределённых коэффициентов.

Осталось применить теорему Виета. Значения элементарных симметрических многочленов на наборе корней равны $%\sigma_1=1$%, $%\sigma_2=-4$%, $%\sigma_3=-1$%. Тогда значение $%F$% на наборе корней многочлена равно $%F=-4-32+1=-35$%.

ссылка

отвечен 24 Дек '14 19:32

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,140

задан
24 Дек '14 19:08

показан
652 раза

обновлен
25 Дек '14 13:45

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru