Сечение тела любой плоскостью является кругом. Доказать, что тело - шар.

задан 25 Дек '14 15:03

10|600 символов нужно символов осталось
1

Докажем сначала ограниченность тела. Зафиксируем какую-то его точку $%P$% и проведём лучи разных направлений с началом $%P$%. Легко видеть, что пересечение каждого такого луча с телом есть некоторый отрезок. Длина этого отрезка меняется непрерывно в зависимости от луча (можно считать, что у нас есть функция на единичной сфере с центром $%P$%). Непрерывность следует из неравенства треугольника. Ввиду компактности сферы, функция длины достигает наибольшего значения.

Очевиден тот факт, что тело замкнуто, поэтому оно компактно, и на его декартовом квадрате, который также компактен, можно рассмотреть функцию расстояния. Она достигается наибольшего значения на какой-то паре точек $%A$%, $%B$%. Тогда круг с диаметром $%AB$% будет иметь максимальный радиус среди всех сечений. Беря плоские сечения вдоль прямой $%AB$%, мы видим, что все круги будут иметь диаметр $%AB$%: он не может стать ни меньше, ни больше. Отсюда вытекает, что перед нами тело вращения, то есть шар.

ссылка

отвечен 25 Дек '14 20:10

@falcao: Я решал так же: сначала ограниченность, затем существование максимального круга.

(26 Дек '14 1:48) EdwardTurJ

Тут, наверное, любой из способов должен быть связан с выявлением фактического центра шара, после чего всё становится просто. Хотелось при этом также соблюсти все аналитические строгости, связанные с компактностью и прочим.

(26 Дек '14 2:15) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×416
×9
×7

задан
25 Дек '14 15:03

показан
558 раз

обновлен
26 Дек '14 2:15

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru