Помогите исследовать на равномерную непрерывность $$\\f(x)=ln^2(x)*sin(1/x^3)$$

задан 25 Дек '14 22:44

изменен 25 Дек '14 22:52

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

Исследование функции на равномерную непрерывность должно происходить на заданном множестве. Без этой информации условие задачи неполное.

(25 Дек '14 22:58) falcao

На промежутке от 3 до бесконечности

(26 Дек '14 0:01) mango4455
10|600 символов нужно символов осталось
0

Легко видеть, что $%f(x) > 0$% при $%x\ge3$%. Сначала заметим, что при $%x\to+\infty$% функция стремится к нулю. В самом деле, величина $%1/x^3$% бесконечно малая, и синус ей эквивалентен: $%\sin(1/x^3)\sim1/x^3$% (в том смысле, что предел отношения равен единице). Поэтому предел функции будет равен пределу функции $%\ln^2x/x^3$%, который равен нулю, так как логарифм растёт медленнее степенной функции.

Теперь выберем произвольное $%\varepsilon > 0$% и по нему найдём $%x_0 > 3$% такое, что $%f(x) < \varepsilon/2$% при $%x\ge x_0$%. Модуль не пишем ввиду положительности значений.

На отрезке $%[3;x_0]$% функция равномерно непрерывна по теореме Кантора. Поэтому найдётся $%\delta > 0$% такое, что при $%|x_1-x_2| < \delta$% будет выполнено неравенство $%|f(x_1)-f(x_2)| < \varepsilon/2$% при условии $%x_1,x_2\in[3;x_0]$%. Если точки $%x_1,x_2$% обе принадлежат $%[x_0;+\infty)$%, то $%0 < f(x_1),f(x_2) < \varepsilon/2$%, откуда $%|f(x_1)-f(x_2)| < \varepsilon/2$%.

Осталось рассмотреть случай, когда $%|x_1-x_2| < \delta$%, и при этом одна из точек принадлежит $%[3;x_0]$%, а вторая принадлежит $%[x_0;+\infty)$%. Пусть $%x_1\in[3;x_0]$%; тогда $%|x_1-x_0| < \delta$%, и $%|f(x_1)-f(x_0)| < \varepsilon/2$%. Мы также знаем, что $%|f(x_0)-f(x_2)| < \varepsilon/2$%. Тогда в силу неравенства треугольника $%|f(x_1)-f(x_2)| < \varepsilon$%, и это неравенство справедливо для любых точек с условием $%|x_1-x_2| < \delta$%. Это значит, что $%f(x)$% равномерно непрерывна на рассматриваемом промежутке.

ссылка

отвечен 26 Дек '14 0:34

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×85

задан
25 Дек '14 22:44

показан
611 раз

обновлен
26 Дек '14 0:34

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru