Число N равно произведению 1000 простых чисел (не обязательно различных). Если каждый множитель в этом представлении увеличить на единицу, то полученное произведение будет делиться на N. Сколько различных таких натуральных N существует?

задан 26 Дек '14 13:12

10|600 символов нужно символов осталось
1

Пусть $%N=p_1p_2\ldots p_n$% -- произведение простых сомножителей, где $%p_1\le p_2\le\cdots\le p_n$%; $%n=1000$%. Согласно условию, произведение $%(p_1+1)(p_2+1)\ldots(p_n+1)$% делится на $%N$%, а потому и на $%p_n$%. Тогда существует $%i$% от $%1$% до $%n$% такое, что $%p_i+1$% делится на $%p_n$%. При этом $%p_n\ge p_i\ge p_n-1$%, откуда следует, что $%p_i=p_n-1$%, так как $%p_n+1$% на $%p_n$% не делится. Это значит, что $%p_n=3$% и $%p_i=2$%, то есть $%N$% является произведением двоек и троек.

Полагая $%N=2^k3^m$%, получаем, что $%3^k4^m=2^{2m}3^k$% делится на $%N$%, откуда $%2m\ge k\ge m$%. Прибавляя $%m$% ко всем частям неравенства, имеем $%3m\ge1000\ge2m$%, откуда $%334\le m\le500$%. Для любого из этих значений мы получаем число $%N=2^{1000-m}3^m$%, которое нам подходит. Всего таких чисел имеется $%500-(334-1)=167$%.

ссылка

отвечен 26 Дек '14 13:45

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×307

задан
26 Дек '14 13:12

показан
577 раз

обновлен
26 Дек '14 14:07

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru