|
Помогите решить уравнение Лагранжа: y = y' (1 + y' cos(y')). Помогите понять, как записывать ответ в данных уравнениях. задан 14 Май '12 20:31 
tkoff |
|
Уравнение решается введением параметра $%y'=dy/dx=t$%. Тогда $%y=t+t^2cos(t)$%, $%dy=(1+2t\cdot cos(t)-t^2sin(t))dt$%. Подставив $%dy$% в первое выражение, находим $%dx=dy/t=(1/t+2cos(t)-t \cdot sin(t))dt$%. Отсюда получаем решение в параметрическом виде $$x=\int{(1/t+2cos(t)-t \cdot sin(t))dt} $$, $$ y=t+t^2cos(t)$$. Интеграл легко берется. отвечен 15 Май '12 0:53 
Андрей Юрьевич спасибо, все стало предельно ясно)
(17 Май '12 19:39)
tkoff
|
|
Предполагаю, что предыдущее решение можно изложить следующим образом: $% (1.1) \ \ y' = t \wedge y = y' \cdot (1 + y' \cdot \cos(y')) \rightarrow y = t + t^2 \cdot \cos(t)$% $% (1.2) \ \ y = t + t^2 \cdot \cos(t) \rightarrow dy = (1 + 2t \cdot \cos(t) - t^2 \cdot \sin(t)) dt $% $% (1.3) \ \ (1.1) \wedge (1.2) \Rightarrow y' = t \wedge y = y' \cdot (1 + y' \cdot \cos(y')) \rightarrow dy = (1 + 2t \cdot \cos(t) - t^2 \cdot \sin(t)) dt $% $% (2.1) \ \ y' = t \wedge y' = \frac{dy}{dx} \rightarrow \frac{dy}{dx} = t$% $% (2.2) \ \ \frac{dy}{dx} = t \rightarrow dx = \frac{dy}{t}$% $% (2.3) \ \ (2.1) \wedge (2.2) \Rightarrow y' = t \wedge y' = \frac{dy}{dx} \rightarrow dx = \frac{dy}{t}$% $% (3.1) \ \ (1.3) \Rightarrow \begin {cases} y' = \frac{dy}{dx} \\ y' = t \wedge y = y' \cdot (1 + y' \cdot \cos(y')) \end {cases} \rightarrow dy = (1 + 2t \cdot \cos(t) - t^2 \cdot \sin(t)) dt$% $% (3.2) \ \ (2.3) \Rightarrow y = y' \cdot (1 + y' \cdot \cos(y')) \wedge y' = t \wedge y' = \frac{dy}{dx} \rightarrow dx = \frac{dy}{t}$% $% (3.3) \ \ (3.1) \wedge (3.2) \Rightarrow \begin {cases} y' = \frac{dy}{dx} \wedge y' = t \\ y = y' \cdot (1 + y' \cdot \cos(y')) \end {cases} \rightarrow \begin {cases} dy = (1 + 2t \cdot \cos(t) - t^2 \cdot \sin(t)) dt \\ dx = \frac{dy}{t} \end {cases}$% $% (4.1) \ \ dy = (1 + 2t \cdot \cos(t) - t^2 \cdot \sin(t)) dt \wedge dx = \frac{dy}{t} \rightarrow dx = \frac{1}{t} \cdot (1 + 2t \cdot \cos(t) - t^2 \cdot \sin(t)) dt$% $% (4.2) \ \ dx = \frac{1}{t} \cdot (1 + 2t \cdot \cos(t) - t^2 \cdot \sin(t)) dt \rightarrow x = \int (\frac{1}{t} + 2\cos(t) - t \cdot \sin(t)) dt$% $% (4.3) \ \ (4.1) \wedge (4.2) \Rightarrow \begin {cases} dy = (1 + 2t \cdot \cos(t) - t^2 \cdot \sin(t)) dt \\ dx = \frac{dy}{t} \end {cases} \rightarrow x = \int (\frac{1}{t} + 2\cos(t) - t \cdot \sin(t)) dt$% $%(5.1) \ \ (3.3) \wedge (4.3) \Rightarrow \begin {cases} y' = \frac{dy}{dx} \wedge y' = t \\ y = y' \cdot (1 + y' \cdot \cos(y')) \end {cases} \rightarrow x = \int (\frac{1}{t} + 2\cos(t) - t \cdot \sin(t)) dt$% $%(5.2) \ \ (1.1) \Rightarrow y' = \frac{dy}{dx} \wedge y' = t \wedge y = y' \cdot (1 + y' \cdot \cos(y')) \rightarrow y = t + t^2 \cdot \cos(t)$% $%(5.3) \ \ (5.1) \wedge (5.2) \Rightarrow \begin {cases} y' = \frac{dy}{dx} \wedge y' = t \\ y = y' \cdot (1 + y' \cdot \cos(y')) \end {cases} \rightarrow \begin {cases} x = \int (\frac{1}{t} + 2\cos(t) - t \cdot \sin(t)) dt \\ y = t + t^2 \cdot \cos(t) \end {cases}$% Примечание $%1.$% В предложениях (1.3), (2.3), (4.3), (5.1) используется $%(A \rightarrow B) \wedge (B \rightarrow C) \Rightarrow A \rightarrow C$% $%2.$% В предложениях (3.3), (5.3) используется $%(A \rightarrow B) \wedge (A \rightarrow C) \Rightarrow A \rightarrow B \wedge C$% $%3.$% В предложениях (3.1), (3.2), (5.2) используется $%A \rightarrow B \Rightarrow C \wedge A \rightarrow B$% отвечен 15 Май '12 13:17 
Галактион Желательно продолжить последнюю импликацию (не найден интеграл, нужно попытаться получить уравнение в явном виде).
(15 Май '12 20:29)
Anatoliy
Оставьте, пожалуйста, хоть что-нибудь автору вопроса!
(15 Май '12 21:42)
Андрей Юрьевич
|