Как доказать, что ядро линейного неограниченного функционала в нормированном пространстве всюду плотно?

задан 27 Дек '14 19:31

10|600 символов нужно символов осталось
1

Неограниченность функционала $%f$% означает, что $%|f(x)|$% -- неограниченная функция на единичной сфере, то есть на множестве точек, для которых $%||x||=1$%. Нужно проверить, что в любой окрестности любой точки есть элемент ядра. Рассмотрим точку $%x_0$% и число $%\varepsilon > 0$%. Положим $%M=\frac{|f(x_0)|}{\varepsilon}$%. Найдём точку $%x$% на единичной сфере, для которой $%|f(x)| > M$%. Тогда $%f(x_0-\lambda x)=f(x_0)-\lambda f(x)=0$% при $%\lambda=\frac{f(x_0)}{f(x)}$%. При этом $%||\lambda x||=|\lambda|\cdot||x||=|\lambda|=\frac{|f(x_0)|}{|f(x)|}\le\frac{|f(x_0)|}M=\varepsilon$%, то есть точка $%x_0-\lambda x$%, принадлежащая ядру, находится в пределах (замкнутой) $%\varepsilon$%-окрестности точки $%x_0$%.

ссылка

отвечен 27 Дек '14 20:14

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×796

задан
27 Дек '14 19:31

показан
653 раза

обновлен
27 Дек '14 20:14

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru