Для положительных $%a,b$% и $%c$% доказать неравенство: $$\frac{a^2}{\sqrt{b^2-bc+c^2}}+\frac{b^2}{\sqrt{c^2-ca+a^2}}+\frac{c^2}{\sqrt{a^2-ab+b^2}}\ge a+b+c.$$

задан 28 Дек '14 0:31

изменен 28 Дек '14 0:32

10|600 символов нужно символов осталось
2

Используя обобщённое неравенство Гёльдера, имеем: $$\left(\frac{a^2}{\sqrt{b^2-bc+c^2}}+\frac{b^2}{\sqrt{c^2-ca+a^2}}+\frac{c^2}{\sqrt{a^2-ab+b^2}}\right)^2\times$$ $$\times\left(a^2(b^2-bc+c^2)+b^2(c^2-ca+a^2)+c^2(a^2-ab+b^2)\right)\ge(a^2+b^2+c^2)^3.$$ Теперь достаточно доказать, что $$(a^2+b^2+c^2)^3\ge\left(a^2(b^2-bc+c^2)+b^2(c^2-ca+a^2)+c^2(a^2-ab+b^2)\right)(a+b+c)^2,$$ или, раскрыв скобки, $$a^6+b^6+c^6+a^4b^2+a^2b^4+b^4c^2+b^2c^4+c^4a^2+c^2a^4+abc(a^3+b^3+c^3)+6a^2b^2c^2\ge$$ $$\ge4(a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3)+abc(a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2).$$ Последнее неравенство получается складыванием двух неравенств Шура и одного очевидного неравенства: $$a^6+b^6+c^6+3a^2b^2c^2\ge a^4b^2+a^2b^4+b^4c^2+b^2c^4+c^4a^2+c^2a^4,$$ $$abc(a^3+b^3+c^3+3abc)\ge abc(a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2),$$ $$2(a^2b-ab^2)^2+2(b^2c-bc^2)^2+2(c^2a-ca^2)^2\ge0.$$ Вместо обобщённого неравенства Гёльдера можно использовать неравенство Йенсена: Не ограничивая общности, положим $%a^2+b^2+c^2=1$%. Тогда для выпуклой функции $%f(x)=\frac1{\sqrt{x}}$% имеем: $$a^2f(b^2-bc+c^2)+b^2f(c^2-ca+a^2)+c^2f(a^2-ab+b^2)\ge$$ $$\ge f\left(a^2(b^2-bc+c^2)+b^2(c^2-ca+a^2)+c^2(a^2-ab+b^2)\right),$$ и далее так же, как и первым способом.

ссылка

отвечен 30 Дек '14 17:11

изменен 31 Дек '14 12:46

Я продумывал геометрический способ -- типа рассмотрения трёхгранного угла с плоскими углами по 60 градусов. Пытался проинтерпретировать что-то через площади или объёмы, перебрал много всего, но ничего хорошего в итоге не придумал.

(30 Дек '14 17:35) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×172

задан
28 Дек '14 0:31

показан
3705 раз

обновлен
31 Дек '14 12:46

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru