Бегун на стадионе пробежал с постоянной скоростью круг. Как повлиял на его результат ветер, который дул с постоянной по величине и направлению скоростью?

задан 28 Дек '14 12:26

10|600 символов нужно символов осталось
1

У меня получилось, что время в пути увеличивается, умножаясь на некоторый коэффициент, зависящий от соотношения скорости ветра и собственной скорости бегуна.

Рассмотрим известную задачу о лодке, собственная скорость которой равна $%v$%, а скорость течения реки равна $%v_0$%. Тогда время в пути вверх и вниз по реке на заданное единичное расстояние равно $%\frac1{v-v_0}+\frac1{v+v_0}=\frac{2v}{v^2-v_0^2}$%. Оно больше, чем время движения в стоячей воде, равное $%\frac2v$%, в $%\frac1{1-c^2}$% раз, где $%c=v_0/v$% есть отношение скоростей.

Рассмотрим прохождение бегуном двух коротких диаметрально противоположных участков, когда ветер дует в разные стороны. Если угол между направлением ветра и касательной к окружности в точке равен $%\alpha$%, то соотношение скоростей становится равно $%c\sin\alpha$%. Поэтому надо найти среднее значение функции $%\frac1{1-c^2\sin^2\alpha}$% на отрезке $%\alpha\in[0;\pi]$%.

После вычисления интеграла получается $%\frac1{\pi}\int\limits_0^{\Pi}\frac{dt}{1-c^2\sin^2t}=\frac1{\sqrt{1-c^2}}$%. Во столько раз больше времени будет затрачено бегуном при наличии ветра. Здесь $%c$% есть отношение собственной скорости бегуна к скорости ветра.

ссылка

отвечен 29 Дек '14 2:47

@falcao, в условии сказано, что бегун бежит с постоянной скоростью, иначе все очень просто. Кроме того, рассмотренный Вами случай соответствует моему случаю а)(это типичная ситуация). В принципе возможно, что за высокую (но постоянную) скорость он получает бонус - его слегка кто-то (что-то) дополнительно подтягивает. При этом функция зависимости расходуемой энергии от скорости является вогнутой, но остается, естественно, возрастающей (случай в)). Тогда при ограниченном (том же) количестве энергии ему выгодно бежать с более высокой скоростью. Я более детально поясню в своем ответе.

(29 Дек '14 3:29) Urt

Похоже, я не учёл здесь влияния боковой составляющей ветра. Надо будет произвести ревизию.

(29 Дек '14 3:29) falcao

@Urt: возможно, здесь имеются разные формализации одной и той же задачи, но я рассматриваю условие постоянства скорости так же, как и в задаче с лодкой. Она сама по себе движется с одной и той же скоростью относительно стоячей воды.

(29 Дек '14 3:33) falcao

@falcao, под "относительно стоячей воды", по-видимому, подразумевается относительно движущейся воды (иначе было бы относительно берега). При этом за инвариант принимается энергия в ед. времени (т. е. мощность), но истинная скорость меняется. По аналогии в задаче с бегуном принимать его скорость относительно ветра не совсем хорошо - когда он бежит даже по ветру, то все равно прикладывает усилия. Я это момент учел зависимостью $% f(). $%

(29 Дек '14 4:13) Urt
10|600 символов нужно символов осталось
1

Здесь буду учитывать только встречную (попутную) составляющую ветра. Боковая составляющая может лишь ухудшить ситуацию. Кроме того, разные направления могут влиять на бегуна по-разному и учет этих факторов может превратить решение задачи в исследовательскую работу.

В рамках допущения положим, что для поддержания постоянной скорости $% v $% при отсутствии ветра бегун тратит в единицу времени энергию $% e= f(v). $% Тогда для бега со скоростью $% v$% при скорости ветра $% v_w $% (направление ветра учитывается в знаке) затраты энергии составляют $% e=f(v,v_w).$% Если $% v_w $% – переменная, в частности, случайная величина, то средние затраты энергии определяются интегрированием этого выражения при условии, что интеграл от $% v_w $% равен 0. При этом если $% f $% а) выпукла (типичный случай), то средние затраты энергии возрастут, б) линейна – не изменятся, в) вогнута – уменьшатся. Значит, ветер в случае а) ухудшил результат, б) не повлиял на результат, в) улучшил результат.

Для пунктов б), в) существенны исходные допущения.

Добавление. Здесь я сформулирую более общую (упрощенную) оптимизационную задачу, имеющую смысл: минимизировать количество общей энергии, необходимой для преодоления бегуном (объектом) заданной дистанции за требуемое время $% T $% путем управления выделяемой энергией $% e(v_w) $% в зависимости от интенсивности внешних воздействий $% v_w $% (препятствующих или помогающих движению факторов).

Пусть для обеспечения движения в условиях $% v_w $% со скоростью $% v $% объекту необходимо выделять энергию $% e=f(v, v_w), F_w(z) $% - функция распределения вероятностей интенсивности внешних воздействий $% v_w $% (может быть построена также для детерминированного процесса $% v_w(t) ) $% и пусть в состоянии внешней среды $% v_w $% объекту алгоритмом управления выделяется количество энергии $% e(v_w). $% Тогда текущая скорость объекта определится зависимостью $% v=\phi (e, v_w ) $% ( $% \phi() $% – обратная к $% f() $% функция по первому аргументу), время движения составит величину

$% T=\int_0^{\infty} \phi (e, z ) dF_w(z), $%

а общее количество выделяемой энергии на всем пути равно

$% E(e())= T \int_0^{\infty} e(z) dF_w(z). $%

Таким образом, рассматриваемая оптимизационная задача принимает вид

$% E(e()) \to min |_{ e()}. $%

Ее решение позволяет определить оптимальный в установленном смысле алгоритм управления. Можно отметить что он существенно зависит от свойств выпуклости функции $% f(). $% Заведомо можно сказать, что при выпуклости $% f() $% по аргументу $% v_w $% в одном заданном состоянии $% v_w $% должно выделяться каждый раз одно и то же количество энергии. При вогнутости $% f() $% оптимальный алгоритм реализует подобие смешанной стратегии. Это обеспечивает построение выпуклой оболочки $% f() $% и минимизацию за счет этого расходуемой на движение энергии.

В соответствии с поставленной автором темы исходной задачи алгоритм управления определяется условиями:

$% v=const, e(v_w)=f(v, v_w). $%

Кроме того, внешние воздействия удовлетворяют условию

$% \int_0^{\infty} z dF_w(z) = 0 $%

(если учитывать мешающее воздействие бокового ветра, то необходимо знак равенства заменить на неравенство). При этом для решения поставленной задачи остается лишь вычислить интеграл

$% E= T \int_0^{\infty} f(v,v_w) dF_w(z) $%

и сравнить полученное значение с величиной $% E_0= f(v,0). $% Как нетрудно видеть, если $% f() $% а) строго выпукла, то $% E > E_0 $% , т. е. воздействующие факторы ухудшают результат; б) линейна, то $% E = E_0 $% – результат не изменяется; в) вогнута, то $% E < E_0 $% - воздействующие факторы улучшают результат.

Аналогичные заключения можно получить и в двойственной задаче, т. е при задании $% E $% в случае а) время движения $% T $% увеличится; б) – не изменится; в) – уменьшится.

Несмотря на то, что в практических задачах полезность рассмотрения случаев б), в) представляется сомнительной, безоговорочно отметать их все-таки не следует. Могут возникнуть ситуации, в которых их учет позволит получить дополнительный эффект.

ссылка

отвечен 28 Дек '14 17:51

изменен 29 Дек '14 7:09

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×244

задан
28 Дек '14 12:26

показан
774 раза

обновлен
29 Дек '14 7:09

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru