Дано множество $%M$%. Доказать, что всякая биекция множества $%M$% является композицией двух симметрий.

задан 30 Дек '14 18:46

изменен 30 Дек '14 22:18

@falcao: Задача Московской городской студенческой олимпиады 1982 года, II-IV курсы, автор задачи Михаил Попов.

(30 Дек '14 22:13) EdwardTurJ

Задача сама по себе хорошая (я сейчас пишу её решение), но мне кажется, что такая терминология не является общепринятой. Понятно, что здесь идёт уподобление осевым и центральным симметриям, но вообще-то в теоретико-групповом контексте часто говорят о группе всех симметрий данной геометрической фигуры, куда входят и повороты, и всё остальное.

(30 Дек '14 22:16) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

Рассмотрим орбиты элементов при действии $%f$% на $%M$%. Начнём с рассмотрения случая конечной орбиты длины $%n\ge3$%. Поскольку природа элементов роли не играет, можно считать, что мы имеем дело с циклом вида $%(12\ldots n)$%, где каждый элемент при $%f$% переходит в следующий, а последний переходит в первый.

Рассмотрим правильный $%n$%-угольник и его поворот на угол $%360^{\circ}/n$%. Он является композицией двух осевых симметрий относительно осей, угол между которыми равен $%180^{\circ}/n$%. Таким симметриям соответствуют следующие две инволюции: $%\sigma=(1,n)(2,n-1)(3,n-2)\ldots$% (ось симметрии проходит через середину стороны $%A_1A_n$%) и $%\tau=(2,n)(3,n-1)\ldots$% (ось симметрии проходит через вершину $%A_1$%. Композиция $%\sigma\circ\tau$%, где преобразования перемножаются слева направо, даёт требуемый цикл длиной $%n$%.

Теперь рассмотрим случай бесконечной орбиты. Она счётна, и можно считать, что мы имеем дело с преобразованием $%f(x)=x+1$% на $%\mathbb Z$%. Геометрически это есть параллельный перенос, и он является композицией двух осевых симметрий, оси которых перпендикулярны числовой прямой, и расстояние между осями равно $%1/2$%. Здесь мы полагаем $%\sigma=(1;-1)(2;-2)\ldots$%, то есть $%\sigma(x)=-x$% (ось симметрии проходит через $%0$%), и $%\tau=(0;1)(-1;2)(-2;3)\ldots$%, то есть $%\tau(x)=1-x$% (ось проходит через точку посередине между нулём и единицей). Очевидно, что $%\sigma\circ\tau$% даёт сдвиг $%x\mapsto x+1$%.

У нас также могут быть орбиты длиной 1 или 2. Для них $%\sigma$% можно выбрать совпадающим с ограничением $%f$%, а $%\tau$% считать тождественным. В итоге, с учётом того, что различные орбиты не пересекаются, мы получаем разложение $%f$% в произведение двух инволюций, каждая из которых строится из инволюций на каждой отдельной орбите (как объединение графиков функций).

ссылка

отвечен 30 Дек '14 22:33

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×672
×668

задан
30 Дек '14 18:46

показан
8386 раз

обновлен
30 Дек '14 22:47

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru