Найти тройки натуральных чисел: $$\frac 1x+\frac 1y+\frac 1z+\frac 1{НОД(x;z)}+\frac 1{НОД(x;y)}+\frac 1{НОД(y;z)}+\frac 1{НОД(x;y;z)}=5$$

задан 30 Дек '14 19:20

изменен 30 Дек '14 21:38

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

10|600 символов нужно символов осталось
1

Будем пользоваться хорошо известным фактом:

Уравнение $%1/x+1/y+1/z=1$% имеет в натуральных числах только такие решения (с точностью до перестановок): $%(3,3,3),(2,4,4),(2,3,6)$%.

Сумма семи аликвотных дробей равна 5. Не менее трёх дробей равны 1, иначе $%1+1+1/2+1/2+1/2+1/2+1/2<5$%. Рассмотрим два случая:

Одно из чисел $%x,y,z$% равно 1, не ограничивая общности, $%z=1$%. Тогда имеем: $$1/x+1/y+1/НОД(x;y)=1.$$ Поскольку один из знаменателей не больше 3, то получаем тройку $%(3,3,1)$%.

Все числа $%x,y,z$% больше 1, тогда, не ограничивая общности, $$1/x+1/y+1/z+1/НОД(x;y)=2.$$ $$НОД(x;y)\le2.$$ Получаем два варианта: $%1/x+1/y+1/z=1$% или $%1/x+1/y+1/z=3/2$% С учётом того, что $%НОД(x;z)=НОД(y;z)=1$%, тут решений нет.

Ответ: $%(1,3,3),(3,1,3),(3,3,1)$%.

ссылка

отвечен 30 Дек '14 21:24

изменен 31 Дек '14 12:43

@EdwardTurJ: у уравнения 1/x+1/y+1/z=1 решения в натуральных числах имеют вид 3,3,3 или 2,3,6 или 2,4,4. Ход доказательства при этом проходит.

(30 Дек '14 21:48) falcao

@falcao: Спасибо, исправил.

(31 Дек '14 12:44) EdwardTurJ
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×204
×19

задан
30 Дек '14 19:20

показан
1412 раз

обновлен
31 Дек '14 12:44

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru