Найти все непрерывные функции $%f:\mathbb{R} → \mathbb{R}$% такие, что для любой арифметической прогрессии $%x,y,z,t$% выполняется неравенство $$|f(x)-f(t)|\ge\pi|f(y)-f(z)|.$$

задан 31 Дек '14 13:18

изменен 31 Дек '14 13:19

1

Почти сразу возникла идея сыграть на том, что $%\pi > 3$%. Если функция не постоянна, то из трёх отрезков можно выбрать левый или правый, на котором относительный прирост функции достаточно велик (не меньше константы $%c > 1/3$%). Из этого получаются довольно странные условия на функцию (наличие точек, "вблизи" которых функция сильно растёт, причём они плотно расположены). Но мне пока так и не удаётся вывести из этого противоречие.

(4 Янв '15 2:21) falcao
1

@falcao: Это задача всесоюзной студенческой олимпиады 1983 года. Решения не знаю.

(5 Янв '15 13:54) EdwardTurJ
1

@EdwardTurJ: так или иначе, над задачей имеет смысл ещё подумать.

(5 Янв '15 14:42) falcao
1

@EdwardTurJ: нельзя ли здесь каким-то образом применить принцип сжимающих отображений?

(7 Янв '15 10:25) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
3

ответ вроде бы и очевиден: $%f(х)=const$%

Можно доказать, причем без использования непрерывности функции, что для произвольных $%x$% и $%y$% при натуральном $%n$% стремящемуся к бесконечности существует и равен нулю предел от следующей дроби: $$\frac{[ f(x - y/3^n) - f(x + y/3^n) ]} { [2y / 3^n]}.$$ Но это еще не доказывает дифференцируемость функции и то, что ее производная равна нулю.

Можно убедиться, что $%|f(x)-f(y)|<A$% $%|x-y|^c$% при некоторых $%A, c>1$%

Действительно. Возьмем отрезок $%[-5a,5a]$%. Функция непрерывна на нем, а значит равномерно непрерывна. Фиксируем $%\varepsilon$% и возьмем $%\delta$% такое, что при $%|x-y|< \delta$% выполнено $%|f(x)-f(y)|<\varepsilon, x,y\in [-5a,5a]$%. Возьмем $%M -$% ограничивающую нашу функцию константу. Возьмем теперь отрезок $%[-a,a]$%, точки $%x-u,x+u$% оттуда. Если $%|2u|>\delta,$% то $%|f(x-u)-f(x+u)|<2M<(2M/\delta^c)|2u|^c$% Если $%|2u|<\delta$%, то $%|f(x-u)-f(x+u)|<|f(x-3u)-f(x+3u)|/\pi<... |f(x-3^k u) - f(x+3^k u)|/\pi^k$% В какой-то момент $%3^k 2u$% станет больше $%\delta$% и мы получим неравенство $%|f(x-u)-f(x+u)|<(2M/\delta^c) 3^{ck} /\pi^k |2u|^c .$% Выбирая $%c>1$% такое, что $%3^c<\pi$%, имеем наше свойство.

Стоит отметить, что $%x-3^k u, x+3^k u$% не могло вылезти за пределы диапазона $%[-5a,5a]$%, поскольку $%3^k2u<2\delta <4a$%

Раз так, то $%|(f(x)-f(y))/(x-y)| < A|x-y|^{c-1}$% стремится к $%0$% при $%x$%, стремящихся к $%y$%.

ссылка

отвечен 10 Апр '15 21:49

изменен 10 Апр '15 21:54

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×103

задан
31 Дек '14 13:18

показан
834 раза

обновлен
10 Апр '15 21:54

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru