Найдите все натуральные числа, не представимые в виде суммы двух взаимно простых чисел, отличных от 1.

задан 31 Дек '14 19:38

10|600 символов нужно символов осталось
2

Каждое натуральное число может быть либо четным (2k), либо нечетным (2k+1).

  1. Если число нечетное: n = 2*k+1 = (k)+(k+1). Числа k и k+1 всегда взаимно простые

(если есть некоторое число d, являющееся делителем x и y, то число |x-y| тоже должно делиться на d. (k+1)-(k) = 1, то есть 1 должно делиться на d, то есть d=1, а это и есть доказательство взаимной простоты)

То есть мы доказали, что все нечетные числа могут быть представлены в виде суммы двух взаимно простых. Исключением по условию будут являться числа 1 и 3, поскольку 1 вообще нельзя представить в виде суммы натуральных, а 3 = 2+1 и никак иначе, а единица в качестве слагаемого не подходит по условию.

  1. Если число четное: n = 2*k Тут придется рассмотреть два случая:

2.1. k - четное, т.е. представимое в виде k = 2m. Тогда n = 4m = (2m+1)+(2m-1). Числа (2m+1) и (2m-1) могут иметь общий делитель только такой (см. выше), на который делится число (2m+1)-(2m-1) = 2. 2 делится на 1 и 2. Но если делитель равен 2, то получается, что нечетное число 2*m+1 должно делиться на 2. Этого не может быть, поэтому остается только 1.

Так мы доказали, что все числа вида 4*m (то есть кратные 4) тоже могут быть представлены в виде суммы двух взаимно простых. Тут исключение - число 4 (m=1), которое хотя и может быть представлено в виде 1+3, но единица в качестве слагаемого нам по-прежнему не подходит.

2.1. k - нечетное, т.е. представимое в виде k = 2m-1. Тогда n = 2(2m-1) = 4m-2 = (2m-3)+(2m+1) Числа (2m-3) и (2m+1) могут иметь общий делитель, на который делится число 4. То есть либо 1, либо 2, либо 4. Но ни 2, ни 4 не годятся, поскольку (2*m+1) - число нечетное, и ни на 2, ни на 4 делиться не может.

Так мы доказали, что все числа вида 4*m-2 (то есть все кратные 2, но не кратные 4) тоже могут быть представлены в виде суммы двух взаимно простых. Тут исключения - числа 2 (m=1) и 6 (m=2), у которых одно из слагаемых в разложении на пару взаимно простых равно единице.

ссылка

отвечен 31 Дек '14 19:46

Если использовать постулат Бертрана, всё проще: берём первым слагаемым наибольшее простое число, меньшее заданного.

(31 Дек '14 19:55) EdwardTurJ
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,897
×137

задан
31 Дек '14 19:38

показан
1434 раза

обновлен
31 Дек '14 19:55

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru