Дан ромб $%ABCD$%. Радиус окружности, описанной около треугольника $%ABD$%, равен $%\sqrt{11}$%, а радиус окружности, описанной около треугольника $%ACD$%, равен $%5$%.

Найти:
1) сторону ромба;
2) расстояние между центрами окружностей.

задан 2 Янв '15 10:42

изменен 4 Янв '15 15:15

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

10|600 символов нужно символов осталось
0

Обозначим половины длин диагоналей ромба через $%a$% и $%b$%. Сторона ромба при этом равна $%c=\sqrt{a^2+b^2}$%.

Нетрудно вывести формулу для радиуса окружности, описанной около равнобедренного треугольника с основанием $%2a$% и высотой $%b$%. Можно либо воспользоваться общей формулой (произведение сторон, делённое на учетверённую площадь), либо решить уравнение $%R^2=a^2+(b-R)^2$%, получая $%R=\frac{a^2+b^2}{2b}$%.

Применяя полученную формулу к двум треугольникам, имеем $%a^2+b^2=2\sqrt{11}b=10a$%. Из этих двух условий легко находятся $%a=\frac{55}{18}$%, $%b=\frac{25}{18}\sqrt{11}$%, $%c=\frac53\sqrt{11}$%.

Для нахождения расстояния между центрами окружностей заметим, что их центры удалены от центра ромба на расстояния $%5-\frac{55}{18}=\frac{35}{18}$% и $%\frac{25}{18}\sqrt{11}-\sqrt{11}=\frac7{18}\sqrt{11}$% соответственно. Эти центры лежат на диагоналях, поэтому расстояние между ними равно гипотенузе прямоугольного треугольника с катетами $%\frac{35}{18}$% и $%\frac7{18}\sqrt{11}$%. По теореме Пифагора получается $%\frac7{18}\sqrt{25+11}=\frac73$%.

ссылка

отвечен 2 Янв '15 11:30

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×598
×219
×11

задан
2 Янв '15 10:42

показан
1034 раза

обновлен
2 Янв '15 11:30

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru